Giải bài 6 trang 23, 24 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là ${x_1}$ và ${x_2}$ thì đa thức $a{x^2} + bx + c$ được phân tích được thành nhân tử như sau: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Áp dụng: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) ${x^2} + 11x + 18$;

b) $3{x^2} + 5x - 2$.

Lời giải chi tiết

Với ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$, theo định lí Viète ta có: ${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$. Do đó:

$a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \\= a{x^2} - a\left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + a{x_1}{x_2} \\= a{x^2} - a.\frac{{ - b}}{a}.x + a.\frac{c}{a} \\= a{x^2} + bx + c.$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng:

a) Do phương trình ${x^2} + 11x + 18 = 0$ có hai nghiệm ${x_1} =  - 2;{x_2} =  - 9$

nên ${x^2} + 11x + 18 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 9} \right)$

b) Do phương trình $3{x^2} + 5x - 2 = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = \frac{1}{3};{x_2} =  - 2$ nên

$3{x^2} + 5x - 2 \\= 3\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\left( {x + 2} \right) \\= \left( {x + 2} \right)\left( {3x - 1} \right).$