Giải bài 6 trang 98 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH}$

b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $AH \bot CB \Rightarrow (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CB} ) = {90^o} \Leftrightarrow \cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CB} ) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CB}  = 0$

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH}  = (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ).\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AH}  = 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH}$

b)  $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {HB} ).\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BH} ).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}$