Giải bài 62 trang 31 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thuỷ triều lên cao và sau 12 giờ khi thuỷ triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở hình bên mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước $h$ (m) theo thời gian $t$(h) $\left( {0 \le t \le 24} \right)$ được cho bởi công thức $h = m + a\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$ với $m$, $a$ là các số thực dương cho trước.

 

a)    Tìm $m$, $a$.

b)    Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Lời giải chi tiết

a) Do $- 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) \le 1 \Rightarrow m - a \le h \le m + a$.

Mực nước thấp nhất đạt được là $m - a$ (m), mực nước cao nhất đạt được là $m + a$ (m).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}m - a = 10\\m + a = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 13\\a = 3\end{array} \right.$

$\Rightarrow h = 13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)$

b) Để tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m, ta sẽ giải phương trình: $h = 11,5 \Leftrightarrow 13 + 3\cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = 11,5 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \frac{{ - 1}}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{12}}t = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{{12}}t =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8 + 24k\\t =  - 8 + 24k\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Như vậy, tại thời điểm $t = 8$(h) và $t = 16$(h), chiều cao của mực nước là 11,5 m.