Giải bài 6.31 trang 21 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt {2{x^2} + x + 1}  = \sqrt {{x^2} + mx + m - 1}$ (1)

Lời giải chi tiết

Tam thức bậc hai $2{x^2} + x + 1$ có a = 2 > 0, ∆ = -7 < 0 nên $2{x^2} + x + 1$ > 0 $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ PT (1) xác định trên $\mathbb{R}$

Bình phương 2 vế của PT (1) ta thu được PT:  ${x^2} + (1 - m)x - m + 2 = 0$ (2)

Ta có: PT (1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm

Tam thức bậc 2 ${x^2} + (1 - m)x - m + 2$ có ∆ = ${(1 - m)^2} - 4( - m + 2) = {m^2} + 2m - 7$

PT (2) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0 $\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - 1 - 2\sqrt 2$ hoặc $m \ge  - 1 + 2\sqrt 2$

Vậy với $m \in \left[ { - \infty ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 1 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right]$ thì PT (1) có nghiệm