Giải bài 64 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}}$;           

b) $y =  - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}}$;

c) $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}}$;  

d) $y = \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}}$;

Lời giải chi tiết

a) $y = 5{\rm{x}} - 2 + \frac{1}{{x + 3}} = \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}}$

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ - }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {3^ + }} \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} =  + \infty$

Vậy $x =  - 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = 5$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{5{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} - 5x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2{\rm{x}} - 5}}{{x + 3}} =  - 2$

Vậy đường thẳng $y = 5{\rm{x}} - 2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) $y =  - 7{\rm{x}} + \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}}$

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} =  - \infty$

Vậy $x = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^3}}} =  - 7$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{ - 7{{\rm{x}}^3} + x - 1}}{{{x^2}}} + 7x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{{x^2}}} = 0$

Vậy đường thẳng $y =  - 7{\rm{x}}$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} =  - \infty$

Vậy $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{x\left( { - x + 2} \right)}} =  - 1$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{ - x + 2}} =  - 4$

Vậy đường thẳng $y =  - x - 4$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

d) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} =  - \infty$

Vậy $x =  - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 2$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{2{{\rm{x}}^2} + 9{\rm{x}}}}{{x + 1}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{7{\rm{x}}}}{{x + 1}} = 7$

Vậy đường thẳng $y = 2{\rm{x}} + 7$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.