Giải bài 7 trang 87 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi.

a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu.

b) Biết 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu, tính xác suất 3 viên bị lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cùng màu.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố “2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu” và $B$ là biến cố “3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”.

• TH1: Chọn từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là: $P\left( B \right) = \frac{{{C}_5^3}}{{{C}_6^3}} = \frac{1}{2}$.

Khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ.

Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: $\frac{{{C}_3^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{1}{7}$.

Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: $\frac{{{C}_4^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{2}{7}$.

Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh là: $P\left( {A|B} \right) = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.

• TH2: Chọn từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: $P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.

Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: $\frac{{{C}_2^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{1}{{21}}$.

Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: $\frac{{{C}_5^2}}{{{C}_7^2}} = \frac{{10}}{{21}}$.

Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{{21}} + \frac{{10}}{{21}} = \frac{{11}}{{21}}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu là:

$P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} + \frac{1}{2}.\frac{{11}}{{21}} = \frac{{10}}{{21}} \approx 0,476$.

b) Theo công thức Bayes, xác suất 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là:

$P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{3}{7}}}{{\frac{{10}}{{21}}}} = 0,45$.