Giải bài 78 trang 37 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị là đường cong như Hình 22. Căn cứ vào đồ thị hàm số:

a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$

c) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2.

d) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2.

e) Đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại mấy điểm?

g) Với giá trị nào của $x$ thì $- 2 < f\left( x \right) < 2$?

h) Tìm công thức xác định hàm số $f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

‒ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

‒ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 0$, đạt cực tiểu tại điểm $x = 2$.

b) Trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại $x = 0$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng ‒2 tại $x =  - 1,x = 2$.

c) Điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2 là $\left( {2; - 2} \right)$.

d) Điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2 là $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {3;2} \right)$.

e) Đường thẳng $y = 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 3 điểm.

g) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: $- 2 < f\left( x \right) < 2,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$ (phần màu đỏ).

h) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vậy $d = 2$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {1;0} \right)$ nên ta có: $a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c =  - 2$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1; - 2} \right)$ nên ta có: $a.{\left( { - 1} \right)^3} + b.{\left( { - 1} \right)^2} + c.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 2$

$\Leftrightarrow  - a + b - c =  - 4$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2; - 2} \right)$ nên ta có: $a{.2^3} + b{.2^2} + c.2 + 2 =  - 2 \Leftrightarrow 8a + 4b + 2c =  - 4$.

Từ đó ta có $a = 1,b =  - 3,c = 0$.

Vậy hàm số cần tìm là: $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2$.