Giải bài 8 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều.

 

Lời giải chi tiết

Lục giác ABCDEF là lục giác đều nên AB = BC = CD = DE = EF = FA  và

$\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA} = \widehat {EAF} = \widehat {FAB}$.

Ta cũng có tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc của hai tứ giác ABCD và AFED, tức là bằng 2.360° = 720°.

Do đó:

$\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = \widehat {CDE} = \widehat {DEA} = \widehat {EAF} = \widehat {FAB} = \frac{{{{720}^o}}}{6} = {120^o}.$

Xét ∆AFB cân tại A (do AB = AF) ta có:

$\widehat {ABF} = \widehat {AFB} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {FAB}}}{2} = \frac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}$

Hay $\widehat {ABS} = \widehat {AFR} = {30^o}$.

Tương tự, đối với ∆ABC cân tại B ta có: $\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = {30^o}$ hay $\widehat {BAS} = {30^o}$.

Do đó ta có $\widehat {ABS} = \widehat {BAS} = {30^o}$. Nên ∆ABS cân tại S.

Suy ra $\widehat {ASB} = {180^o} - 2\widehat {BAS} = {180^o} - {2.30^o} = {120^o}$.

Khi đó, $\widehat {RSM} = \widehat {ASB} = {120^o}$(đối đỉnh).

Chứng minh tương tự, ta được: 

$\widehat {RSM} = \widehat {SMN} = \widehat {MNP} = \widehat {NPQ} = \widehat {PQR} = \widehat {QRS} = {120^o}$.      (1)

Ta có: $\widehat {BSA} + \widehat {BSM} = {180^o}$ (kề bù)

Suy ra $\widehat {BSM} = {180^o} - \widehat {BSA} = {180^o} - {120^o} = {60^o}$.

Ta cũng có: $\widehat {BMS} = {180^o} - \widehat {BMC} = {180^o} - {120^o} = {60^o}$.

Do đó ∆BSM là tam giác cân, lại có $\widehat {BSM} = {60^o}$nên ∆BSM là tam giác đều.

Suy ra SB = SM = BM.

Chứng minh tương tự ta có ∆SAR là tam giác đều nên SA = SR = AR.

Do ∆ABS cân tại S nên SA = SB.

Khi đó, RS = SM.

Chứng minh tương tự, ta được:

RS = SM = MN = NP = PQ = QR. (2)

Từ (1) và (2) suy ra lục giác MNPQRS là lục giác đều.