Giải bài 8.12 trang 51 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

 Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét biến cố $A$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”, $B$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”. Chứng tỏ rằng $A$ và $B$ không độc lập.

Lời giải chi tiết

Tính $P\left( A \right)$

Xét biến cố đối $\overline A :$ “ Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”,$\overline A  = \left\{ {\left( {a,b} \right):a,b \in \left\{ {1;2;3;4;6} \right\}} \right\}$. Ta có $n\left( {\overline A } \right) = 25$; $n\left( \Omega  \right) = 36$.

Vậy $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{36}}$, do đó $P\left( A \right) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{1}{4}$.

Tính $P\left( B \right)$, Ta có $B = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}$, $n\left( B \right) = 6$.

Vậy $P\left( B \right) = \frac{6}{{36}}$.

Tính $P\left( {AB} \right)$, Ta có $AB = A \cap B = \left\{ {\left( {2,5} \right);\left( {5,2} \right)} \right\}$, $n\left( {A \cap B} \right) = 2$.

Vậy $P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}}$.

Ta có $P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{{72}}{{{{36}^2}}};P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}.\frac{6}{{36}} = \frac{{66}}{{{{36}^2}}}$.

Suy ra: $P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Vậy $A$ và $B$ không độc lập.