Giải bài 82 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

Ta có: $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} } \right|$

                                  $= \left| {3\overrightarrow {MG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)} \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$$\ge 3HG$ (với H là hình chiếu của G trên d)

Vậy với M là hình chiếu của G trên đường thẳng d thì biểu thức $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất