Giải bài tập 10 trang 43 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ $Oxyz$. Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$, $\left( R \right)$ của một toà nhà, biết:

$\left( P \right):3x + y - z + 2 = 0$

$\left( Q \right):6x + 2y - 2z + 11 = 0$

$\left( R \right):x - 3y + 1 = 0$

Lời giải chi tiết

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$, $\left( R \right)$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {3;1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {6;2; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = \left( {1; - 3;0} \right).$

Ta thấy rằng $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{{ - 2}}$ nên $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}$ và $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}$ là 2 vectơ cùng phương. Từ đó suy ra $\left( P \right)\parallel \left( Q \right).$

Ta có $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = 3.1 + 1.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).0 = 0$ nên $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}$ và $\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}$ có giá vuông góc với nhau. Suy ra $\left( P \right) \bot \left( R \right).$

Ta có $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = 6.1 + 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).0 = 0$ nên $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}$ và $\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}$ có giá vuông góc với nhau. Suy ra $\left( Q \right) \bot \left( R \right).$