Giải bài tập 4 trang 26 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Giải các phương trình :

a. $\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}$;

b. $\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0$;

c. $\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}$;

d. $\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1$;

e. $\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$;

g. $\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}$.

Lời giải chi tiết

a. $\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}$

Điều kiện xác định: $x \ne - 3$.

$\begin{array}{l}\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\\\frac{{ - 18}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}}\\2\left( {x + 3} \right) = - 18\\x + 3 = - 9\\x = - 12\end{array}$

Ta thấy $x = - 12$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 12$.

b. $\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0$

Điều kiện xác định: $x \ne 0$

$\begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0\\\frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{2x}} + \frac{1}{{2x}} = 0\\x\left( {x - 2} \right) + 1 = 0\\{x^2} - 2x + 1 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\x - 1 = 0\\x = 1\end{array}$

Ta thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$.

c. $\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}$

Điều kiện xác định: $x \ne \frac{4}{3}$ và $x \ne - 2$.

$\begin{array}{l}\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}\\\frac{{8\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{3x - 4}}{{\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l}8\left( {x + 2} \right) = 3x - 4\\8x + 16 - 3x + 4 = 0\\5x + 20 = 0\\x = - 4\end{array}$

Ta thấy $x = - 4$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = - 4$.

d. $\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1$

Điều kiện xác định: $x \ne 2$

$\begin{array}{l}\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1\\\frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\x\left( {x - 2} \right) + 2 = {\left( {x - 2} \right)^2}\\{x^2} - 2x + 2 = {x^2} - 4x + 4\\{x^2} - 2x + 2 - {x^2} + 4x - 4 = 0\\2x - 2 = 0\\x = 1\end{array}$

Ta thấy $x = 1$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$.

e. $\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}$

Điều kiện xác định: $x \ne - 1$ và $x \ne 1$

$\begin{array}{l}\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\\\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\3{x^2} - 3x - 2x + 2 = 4{x^2} - 4 - {x^2} - 3x - 2\\3{x^2} - 5x + 2 = 3{x^2} - 3x - 6\\3{x^2} - 3{x^2} - 5x + 3x = - 6 - 2\\ - 2x = - 8\\x = 4\end{array}$

Ta thấy $x = 4$ thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 4$.

g. $\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}$

Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $x \ne 2$.

$\begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\\\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\{x^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x + 2\\{x^2} = {x^2} - 3x + 2 - x + 2\\{x^2} - {x^2} + 4x =4\\4x = 4\\x = 1\end{array}$

Ta thấy $x = 1$ không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.