Giải bài tập 7 trang 60 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian $Oxyz$, cho biết phương trình trục $a$ của mũi khoan và một đường rãnh $b$ trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là $a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.$ và $b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.$.
a) Chứng minh $a$, $b$ vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm toạ độ giao điểm của $a$ và $b$.

Lời giải chi tiết

a) Trục $a$ của mũi khoan đi qua điểm $A\left( {1;2;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec a = \left( {0;0;3} \right)$.

Đường rãnh $b$ trên vật cần khoan đi qua điểm $B\left( {1;2;6} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec b = \left( {4;2;0} \right)$.

Ta có $\vec a.\vec b = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0$, suy ra $a$ và $b$ vuông góc với nhau.

Mặt khác, ta lại có $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( { - 6;12;0} \right)$ và $\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0;6} \right)$.

Suy ra $\left[ {\vec a,\vec b} \right].\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6} \right).0 + 12.0 + 0.6 = 0$, tức là $a$ và $b$ cắt nhau.

b) Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\2 = 2 + 2t'\\3t = 6\end{array} \right.$.

Ở hai phương trình đầu, ta có $t' = 0$. Ở phương trình cuối cùng, ta có $t = 2$.

Vậy $t' = 0$ và $t = 2$ là nghiệm duy nhất của hệ. Suy ra toạ độ giao điểm là $\left( {1;2;6} \right)$.