Giải bài tập 8 trang 67 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Giải thích vì sao nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$.

Áp dụng phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)    ${x^2} - 2x - 3$

b)   $3{x^2} + 5x - 2$

Lời giải chi tiết

Do phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ nên áp dụng định lý Viète, ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}$

Ta lại có:

$\begin{array}{l}VT = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a\left( {{x^2} - x.{x_2} - x.{x_1} + {x_1}.{x_2}} \right)\\ = a\left[ {{x^2} - x\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}.{x_2}} \right]\\ = a\left[ {{x^2} - x.\frac{{ - b}}{a} + \frac{c}{a}} \right]\\ = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\ = a{x^2} + bx + c\\ = VP(dpcm)\end{array}$

a) Ta có $a - b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} =  - 1;{x_2} = 3$.

Vậy ${x^2} - 2x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)$

b) Ta có: $\Delta  = {5^2} - 4.3.\left( { - 2} \right) = 49 > 0$

Phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {49} }}{{2.3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; ${x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {49} }}{{2.3}} = \frac{{ - 12}}{6} =  - 2$.

Vậy $3{x^2} + 5x - 2 = 3.\left( {x - \frac{1}{3}} \right)\left( {x + 2} \right)$