Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

HĐ 1

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$ (Hình 13)

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm ${F_1},{F_2}$ của hypebol $\left( H \right)$

b) Hypebol $\left( H \right)$ cắt trục $Ox$ tại các điểm ${A_1},{A_2}$. Tìm độ dài các đoạn thẳng $O{A_1},O{A_2}$

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$. Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$

+ Độ dài trục thực: $2a$, độ dài trục ảo: $2b$

Lời giải chi tiết:

a) ${F_1},{F_2}$ là tiêu điểm của hypebol (H) có tọa độ ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$ với $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$

b) ${A_1},{A_2}$ là giao điểm của (H) với Ox $\Rightarrow {y_{{A_1}}} = {y_{{A_2}}} = 0 \Rightarrow \frac{{{x_{{A_1}}}^2}}{{{a^2}}} = 1;\frac{{{x_{{A_2}}}^2}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {x_{{A_1}}} =  - a;{x_{{A_2}}} = a$

Hay ${A_1}( - a;0),{A_2}(a;0)$ $\Rightarrow O{A_1} = O{A_2} = a$

HĐ 2

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ trong đó $a > 0,b > 0$ (Hình 14). Cho điểm $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên hypebol (H). Gọi ${M_1},{M_2},{M_3}$ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm ${M_1},{M_2},{M_3}$ có nằm trên hypebol (H) không? Tại sao?

Lời giải chi tiết:

+ Điểm ${M_1}\left( {x; - y} \right)$ thuộc hypebol (H) vì $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - y)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

+ Điểm ${M_2}\left( { - x;y} \right)$ thuộc hypebol (H) vì $\frac{{{{( - x)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

+ Điểm ${M_3}\left( { - x; - y} \right)$ thuộc hypebol (H) vì $\frac{{{{( - x)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - y)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$