Giải mục 2 trang 59,60 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})$.

a) Biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ theo ba vectơ $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$

b) Tính các tích vô hướng ${\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}$, $\overrightarrow i .\overrightarrow j$, $\overrightarrow j .\overrightarrow k$, $\overrightarrow k .\overrightarrow i$

c) Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ theo toạ độ của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )$

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k$

$\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k$

b) ${\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1$

${\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1$

${\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k  = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1$

$\overrightarrow i .\overrightarrow j  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0$

$\overrightarrow j .\overrightarrow k  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0$

$\overrightarrow i .\overrightarrow k  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0$

c) $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ({a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k )$

$= {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}$

$= {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba vectơ $\overrightarrow m  = ( - 5;4;9)$, $\overrightarrow n  = (2; - 7;0)$, $\overrightarrow p  = (6;3; - 4)$.

a) Tính $\overrightarrow m .\overrightarrow n$, $\overrightarrow m .\overrightarrow p$

b) Tính $|\overrightarrow m |$, $|\overrightarrow n |$, $\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n )$

c) Cho $\overrightarrow q  = (1; - 2;0)$. Vectơ $\overrightarrow q$ có vuông góc với $\overrightarrow p$ không?

Phương pháp giải:

a) Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})$, $\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})$, ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$

b) Công thức tính độ lớn vecto: $|\overrightarrow a | = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}$

c) $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

Lời giải chi tiết:

a) $\overrightarrow m .\overrightarrow n  =  - 5.2 + 4.( - 7) =  - 38$

$\overrightarrow m .\overrightarrow p  = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) =  - 54$

b) $|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}}  = \sqrt {122}$

$|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}}  = \sqrt {53}$

$\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} =  - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}$

c) $\overrightarrow q .\overrightarrow p  = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0$ nên $\overrightarrow q$ vuông góc với $\overrightarrow p$.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 60 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực $\overrightarrow f  = (5;4; - 2)$ (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời $\overrightarrow a  = (70;20; - 40)$ (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow f$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính công $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d$

Lời giải chi tiết:

Công sinh bởi lực $\overrightarrow f$ là: $A = \overrightarrow f .\overrightarrow a  = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J$