Giải mục 2 trang 63, 64 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 64 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 200x - 600y - {\rm{4 000}}z + {\rm{4 099 900}} = 0$. Tìm toạ độ tâm và bán kính mặt cầu.

Phương pháp giải:

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$. Xác định $a$, $b$, $c$, $d$ và tính ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d$, rồi rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Phương trình của bề mặt bóng thám không là phương trình có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$, với $a = 100$, $b = 300$, $c = 2{\rm{ 000}}$ và $d = {\rm{4 099 900}}$.

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {100^2} + {300^2} + 2{\rm{ }}{000^2} - 4{\rm{ }}099{\rm{ }}900 = 100 > 0.$

Vậy bóng thám không có tâm $I\left( {100;300;2000} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {100}  = 10$.

VD3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 3 trang 64 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0$. Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$, xác định các hệ số $a$, $b$, $c$, $d$, sau đó tính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu chính là bán kính của mặt cầu đó.

Phương trình mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a =  - \frac{1}{{16}}$, $b = \frac{1}{{16}}$, $c = \frac{1}{2}$ và $d = \frac{1}{{16}}$.

Suy ra bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{{16}}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}$.