Giải mục 3 trang 22, 23, 24 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 22 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho đồ thị của hàm số $y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}$ và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình 7).

a) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x)$.

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi $x \to  + \infty$ hoặc $x \to  - \infty$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x} = 0$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 1 - {x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.

b) MN = y – x = $\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x = \frac{1}{x}$.

Khi $x \to  + \infty$ hoặc $x \to  - \infty$ thì MN tiến dần về 0.

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}$.

Phương pháp giải:

Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}$.

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}}}}{x}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{{x^2} + 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 2$.

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - ax) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (\frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - 2x)$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 13x}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 13}}{{1 + \frac{5}{x}}} =  - 13$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (ax + b)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [y - (2x - 3)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x}}{{x + 5}} - (2x - 13)$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{65}}{{x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{65}}{x}}}{{1 + \frac{5}{x}}} = 0$.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = 2x - 13.

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phẩm thì chi phí trung bình (tính bằng nghìn đồng) cho một sản phẩm được cho bởi công thức: $C(x) = \frac{{50x + 2000}}{x}$.

Tìm các đường tiệm cận của hàm số C(x).

Phương pháp giải:

- Đường thẳng x = a được gọi là một đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn: $\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }}  + \infty$, $\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }}  + \infty$, $\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ - }}  - \infty$, $\mathop {\lim f(x) = }\limits_{x \to {a^ + }}  - \infty$.

- Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = m$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = m$.

- Đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } [f(x) - (ax + b)] = 0$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} =  + \infty$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{50x + 2000}}{x} = \frac{{2000}}{0} =  + \infty$.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = 0.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{50x + 2000}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{50 + \frac{{2000}}{x}}}{1} = 50$.

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 50.