Giải mục I trang 72, 73 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Cho tam giác ABC có \(AB = c, AC = b, \widehat A = \alpha \). Viết công thức tính BC theo \(b,c,\alpha \)

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = {c^2} + {b^2} - 2.c.b.\cos \alpha \\ \Leftrightarrow BC = \sqrt {{c^2} + {b^2} - 2bc.\cos \alpha } \end{array}\)

Hoạt động 2

Cho tam giác ABC có \(AB = c, AC = b, BC = a\). Viết công thức tính cos A.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, từ đó suy ra công thức tính cos A.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} = {c^2} + {b^2} - 2.c.b.\cos A\\ \Leftrightarrow 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\\ \Leftrightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\end{array}\)

Chú ý

Tương tự, ta suy ra công thức tính \(\cos B,\;\cos C\) như sau:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\;\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Hoạt động 3

Cho tam giác $ABC$ có $BC = a$, $\widehat{B} = \alpha$, $\widehat{C} = \beta$. Viết công thức tính $AB$ và $AC$ theo $a$, $\alpha$, $\beta$.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào định lý sin trong tam giác $ABC$, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R\).

Với \(BC = a\), \(\hat B = \alpha \), \(\hat C = \beta \), suy ra \(\hat A = {180^o} - (\alpha  + \beta )\).

Do đó:

- \(AB = c = \frac{{a \cdot \sin C}}{{\sin A}} = \frac{{a \cdot \sin \beta }}{{\sin ({{180}^o} - (\alpha  + \beta ))}} = \frac{{a \cdot \sin \beta }}{{\sin (\alpha  + \beta )}}\)

- \(AC = b = \frac{{a \cdot \sin B}}{{\sin A}} = \frac{{a \cdot \sin \alpha }}{{\sin ({{180}^o} - (\alpha  + \beta ))}} = \frac{{a \cdot \sin \alpha }}{{\sin (\alpha  + \beta )}}\)

Vậy công thức tính là:

\(AB = \frac{{a\sin \beta }}{{\sin (\alpha  + \beta )}}\); \(AC = \frac{{a\sin \alpha }}{{\sin (\alpha  + \beta )}}\).