Giải mục III trang 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 9

Cho $\alpha$ là góc nhọn. Chứng minh: 

a) $\widehat{BDC} = \alpha$; 

b) $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. 

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $BDC$, ta có $\widehat{BDC} = \alpha$. 

Vì $BD$ là đường kính của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{BCD} = 90^o$. 

Do đó $\sin D = \frac{BC}{BD}$, tức là $\sin\alpha = \frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$.

Hoạt động 10

Cho $\alpha$ là góc tù. Chứng minh: 

a) $\widehat{BDC} = 180^o - \alpha$; 

b) $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. 

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác $BCD$, ta có: $\widehat{BDC} = 180^o - \alpha$ và $\widehat{BCD} = 90^o$. 

Do đó $\sin D = \frac{BC}{BD}$, tức là $\sin(180^o - \alpha) = \frac{a}{2R}$. 

Mà $\sin(180^o - \alpha) = \sin\alpha$ nên $\sin\alpha = \frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$.

Hoạt động 11

Cho \(\alpha \) là góc vuông. Chứng minh \(\frac{a}{{\sin \alpha }} = 2R\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định đường tròn ngoài tiếp tam giác, từ đó suy ra bán kính R

Bước 2: Tính \(\frac{a}{{\sin \alpha }}\) rồi so sánh với 2R.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC có \(\widehat A = \alpha  = {90^o}\)

Gọi O là trung điểm của BC. Khi đó: \(OA = OB = OC = \frac{1}{2}BC\)

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (O) bán kính \(R = \frac{{BC}}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{{BC}}{{\sin {{90}^o}}} = BC = 2R\) (đpcm)

Luyện tập – vận dụng 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính R = 6 và có các góc \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}\). Tính độ dài cạnh BC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc \(\widehat A\).

Bước 2: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat B = {65^o},\widehat C = {85^o}\).

\( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{65}^o} + {{85}^o}} \right) = {30^o}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow BC = 2R.\sin A\).

Mà \(\widehat A = {30^o},R = 6\).

\( \Rightarrow BC = 2.6.\sin {30^o} = 6\).

Vậy BC = 6.