Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Ghi chú:

+ c’ = 0.

+ x’ = 1.

+ \((\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) \((x \ne 0)\).

+ \(\left( {\frac{1}{x}} \right)' =  - \frac{1}{{{x^2}}}\) \((x \ne 0)\).

2. Các quy tắc tính đạo hàm

a) Đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số

b) Đạo hàm của tích, thương hai hàm số

Lưu ý:

+ (k.u)’ = ku’ với \(k \in \mathbb{R}\).

+ \(\left( {\frac{k}{v}} \right)' = \frac{{kv'}}{{{v^2}}}\) với \(k \in \mathbb{R}\).

c) Đạo hàm của hàm hợp

* Hàm hợp

Cho hai hàm số f(u) và u = u(x). Hàm số y = f(u(x)) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f(u) và u(x).

* Đạo hàm của hàm hợp

3. Đạo hàm của một số hàm số khác

a) Đạo hàm của hàm số lượng giác

b) Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^5} - {x^3} + x - 10\).

Giải:

\(y' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {{x^3}} \right)' + \left( x \right)' - \left( {10} \right)' = 5{x^4} - 3{x^2} + 1\).

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 4{x^2} - \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{5}{x}\).

b) \(y = (2{x^3} + 1)(\sqrt x  - 3)\).

c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

Giải:

a) Với x > 0, ta có \(y = 4\left( {{x^2}} \right)' - \frac{1}{2}\left( {\sqrt x } \right)' + 5\left( {\frac{1}{x}} \right)' = 8x - \frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{5}{{{x^2}}}\).

b) Với x > 0, ta có \(y' = (2{x^3} + 1)'(\sqrt x  - 3) + (2{x^3} + 1)(\sqrt x  - 3)' = 6{x^2}(\sqrt x  - 3) + (2{x^3} + 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}\).

c) Với \(x \ne  - 1\), ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2(x + 1) - (2x - 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {({x^2} + x)^8}\).

b) \(y = \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\).

Giải:

a) \(y = \left[ {{{({x^2} + x)}^8}} \right]' = ({x^2} + x)'.8{({x^2} + x)^{8 - 1}} = 8(2x + 1){({x^2} + x)^7}\).

b) \(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}\).

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2\sin x - 3\cos x\).

b) \(y = x\tan x\).

c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

d) \(y = {\cos ^3}3x\).

Giải:

a) \(y' = 2\left( {\sin x} \right)' - 3\left( {\cos x} \right)' = 2\cos x + 3\sin x\).

b) Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\), ta có \(y = x'.\tan x + x.(\tan x)' = \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\).

c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

d) \(y' = 3{\cos ^2}3x.(\cos 3x)' =  - 3{\cos ^2}3x.(3x)'.\sin 3x =  - 9{\cos ^2}3x.\sin 3x\).

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {3^{2{x^2} - x}}\).

b) \(y = {\log _2}({x^2} + 2x + 3)\).

c) \(y = x{e^x}\).

Giải:

a) \(y' = (2{x^2} - x)'{.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3 = (4x - 1){.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3\).

b) \(y' = \frac{{({x^2} + 2x + 3)'}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}} = \frac{{2x + 2}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}\).

c) \(y' = (x)'{e^x} + x({e^x})' = {e^x} + x{e^x}\).