Lý thuyết Hàm số lượng giác và đồ thị - SGK Toán 11 Cùng khám phá

I. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f( - x) =  f(x)$

Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f( - x) =  - f(x)$

* Lưu ý:

• Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
• Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

     2. Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T $\ne$ 0 sao cho với mọi $x \in D$ ta có $x \pm T \in D$ và $f(x + T) = f(x)$

 Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2$\pi$.

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì $\pi$.

II. Hàm số lượng giác

1. Định nghĩa các hàm số lượng giác

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là $\mathbb{R}$.
• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là $\mathbb{R}$.
• Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
• Hàm số cho bằng công thức $y = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

2. Đồ thị của các hàm số lượng giác

 a, Hàm số y =  sinx

• Tập xác định là $\mathbb{R}$.
• Tập giá trị là [-1;1].
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)$.
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

b, Hàm số y =  cosx

• Tập xác định là $\mathbb{R}$.
• Tập giá trị là [-1;1].
• Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2$\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)$.
• Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

c, Hàm số y =  tanx

• Tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
• Tập giá trị là $\mathbb{R}$.
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

d, Hàm số y =  cotx

• Tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
• Tập giá trị là $\mathbb{R}$.
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì $\pi$.
• Đồng biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.