Lý thuyết Tích của một số với một vecto

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực $k$với một vecto $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$ là một vecto, kí kiệu là $k\overrightarrow a .$

+) Vecto $k\overrightarrow a$ có độ dài bằng $\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$ và

              Cùng hướng với vecto $\overrightarrow a$ nếu $k > 0$

              Ngược hướng với vecto $\overrightarrow a$ nếu $k < 0$

+) Quy ước: $0.\overrightarrow a  = \overrightarrow 0$ và $k.\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0$

+) Tính chất: Với hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ và hai số thực $k,t$ ta luôn có:

 $\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}$

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

+) Hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại $k$ để $\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .$         

+) Nhận xét:

Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .$

+) Chú ý:

Cho hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương. Với mỗi vecto $\overrightarrow c$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực $(m;n)$ sao cho $\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b$