Mệnh đề tương đương. Cách phát biểu và xét tính đúng sai của mệnh đề tương đương - Toán 10

Nếu \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) thì ta nói P, Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).

Khi đó, P được gọi là điều kiện cần và đủ để có Q và ngược lại, Q là điều kiện cần và đủ để có P.

Ta có thể phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là:

- “P tương đương với Q”.

- “P khi và chỉ khi Q”.

- “P nếu và chỉ nếu Q”.

- “P là điều kiện cần và đủ để có Q”.

Ví dụ minh hoạ:

P: “Tam giác ABC vuông tại A”.

Q: “Tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.

Theo định lí Pythagore, hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng. Do đó, P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ta có thể phát biểu thành định lí như sau:

“Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”,

hoặc “Để tam giác ABC vuông tại A, điều kiện cần và đủ là \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.

\(P \Leftrightarrow Q\) đúng nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng.

Ví dụ minh hoạ: