Tích của vecto với một số - Toán 10

Cho số thực \(k \ne 0\) và vecto \(\overrightarrow a\ne \overrightarrow 0 \). Tích của số k với vecto \(\overrightarrow a \) là một vecto, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \), được xác định như sau:

+) Cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k > 0, ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) nếu k < 0.

+) Có độ dài bằng \(\left| k \right|.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

Quy ước: \(0\overrightarrow a= \overrightarrow 0 \), \(k\overrightarrow 0= \overrightarrow 0 \).

Phép lấy tích của một số với một vecto gọi là phép nhân một số với một vecto.

Với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và hai số thực h, k, ta có:

+) \(k\left( {\overrightarrow a+ \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a+ k\overrightarrow b \); \(k\left( {\overrightarrow a- \overrightarrow b } \right) = k\overrightarrow a- k\overrightarrow b \);

+) \((h + k)\overrightarrow a= h\overrightarrow a+ k\overrightarrow a \);

+) \(h\left( {k\overrightarrow a } \right) = \left( {hk} \right)\overrightarrow a \);

+) \(1\overrightarrow a= \overrightarrow a \); \(( - 1)\overrightarrow a=- \overrightarrow a \).

Nhận xét: \(k\overrightarrow a= \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi k = 0 hoặc \(\overrightarrow a= \overrightarrow 0 \).

1) Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow {CA}= k\overrightarrow {CB} \).

b) \(\overrightarrow {CA}= k\overrightarrow {AB} \).

Giải:

a) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) là hai vecto cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CB} } \right|\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA}= 2\overrightarrow {CB} \). Vậy k = 2.

b) Ta có \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {CA} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\).

Suy ra \(\overrightarrow {CA}=- 2\overrightarrow {AB} \). Vậy k = -2.

2) Vật chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} \), \(\overrightarrow {{v_2}} \) lần lượt là các vecto vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thoả mãn \(\overrightarrow {{v_1}}= k\overrightarrow {{v_2}} \)?

Giải:

Do tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là \(\frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) đồng thời hai vật chuyển động ngược hướng nên hai vecto vận tốc ngược hướng.

Suy ra \(\overrightarrow {{v_1}}= \frac{{ - 3}}{2}\overrightarrow {{v_2}} \). Vậy \(k =- \frac{3}{2}\).

3) Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

a) \(2\overrightarrow {AB}+ 2\overrightarrow {BC}= 2\overrightarrow {AC} \).

b) \(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB}- 14\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB} \).

Giải:

a) Ta có: \(2\overrightarrow {AB}+ 2\overrightarrow {BC}= 2\left( {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} } \right) = 2\overrightarrow {AC} \).

b) Ta có:

\(3\left( {5\overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {CB}- 14\overrightarrow {AC}= 15\overrightarrow {AC}+ \overrightarrow {CB}- 14\overrightarrow {AC}= 15\overrightarrow {AC}- 14\overrightarrow {AC}+ \overrightarrow {CB}= \overrightarrow {AC}+ \overrightarrow {CB}= \overrightarrow {AB} \).

4) Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh \(\overrightarrow {GA}+ \overrightarrow {GB}+ \overrightarrow {GC}+ \overrightarrow {GD}= \overrightarrow 0 \).

Giải:

Vì M là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {GA}+ \overrightarrow {GB}= 2\overrightarrow {GM} \).

Vì N là trung điểm của CD nên \(\overrightarrow {GC}+ \overrightarrow {GD}= 2\overrightarrow {GN} \).

Suy ra \(\overrightarrow {GA}+ \overrightarrow {GB}+ \overrightarrow {GC}+ \overrightarrow {GD}= 2\overrightarrow {GM}+ 2\overrightarrow {GN}= 2\left( {\overrightarrow {GM}+ \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

5) Cho tam giác OAB. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho \(AM = \frac{2}{3}AB\). Kẻ MH // OB, MK // OA. Giả sử \(\overrightarrow {OA}= \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}= \overrightarrow b \).

a) Biểu thị \(\overrightarrow {OH} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {OK} \) theo \(\overrightarrow b \).

b) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

Giải:

a) Ta có: MK // OA, MH // OB suy ra \(\frac{{OK}}{{OB}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{3}\), \(\frac{{OH}}{{OA}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{3}\).

Vì \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OH}= \frac{1}{3}\overrightarrow {OA}= \frac{1}{3}\overrightarrow a \).

Vì \(\overrightarrow {OK} \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {OK}= \frac{2}{3}\overrightarrow {OB}= \frac{2}{3}\overrightarrow b \).

b) Vì tứ giác OHMK là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OM}= \overrightarrow {OH}+ \overrightarrow {OK}= \frac{1}{3}\overrightarrow a+ \frac{2}{3}\overrightarrow b \).