Bài 1.7 trang 15 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong các trường hợp sau:

a) $\cos \alpha  = \frac{1}{3}$, với $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$.

b) $\tan \alpha  = \frac{5}{{12}}$, với $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}$

Vì $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ nên điểm biểu diễn của góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ I. Do đó $\sin \alpha  > 0$

$\Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

$\Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\sqrt 2 ,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$.

b) Ta có: $\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{{12}}{5}$

Lại có:

$\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow 1 + {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{{144}}{{169}}\end{array}$

Vì $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$ nên điểm biểu diễn của góc $\alpha$ thuộc phần tư thứ III. Do đó $\cos \alpha  < 0$

$\Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}$

$\Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{5}{{13}}$.