Bài 18 trang 170 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H.

a) Kẻ $HF \bot AB,HF \bot AC(E \in AB,F \in AC).$  Chứng minh rằng AE = AF.

b) Chứng minh rằng EF // BC.

Lời giải chi tiết

a)Tam giác ABC cân tại A (gt) => AB = AC và $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.$

Mà $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = {90^0}(\Delta ABH$  vuông tại H)

Và $\widehat {ACH} + \widehat {CAH} = {90^0}(\Delta ACH$  vuông tại H).

Nên  $\widehat {BAH} = \widehat {CAH}.$

Xét tam giác AEH vuông tại E $(HE \bot AB)$

Và tam giác AFH vuông tại F $(HF \bot AC)$   có:

AH là cạnh chung.

$\widehat {EAH} = \widehat {FAH}$    (chứng minh trên).

Do đó: $\Delta AEH = \Delta AFH$  (cạnh huyền - góc nhọn) => AE = AF.

b)Tam giác AEF có: AE = AF => tam giác AEF cân tại A$\widehat {AEF} = \widehat {AFE}.$  

Mà $\widehat {AEF} + \widehat {AFE} + \widehat {EAF} = {180^0}$   (tổng ba góc của một tam giác).

Nên $\widehat {AEF} + \widehat {AEF} + \widehat {EAF} = {180^0} \to 2\widehat {AEF} + \widehat {EAF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AEF} = {{{{180}^0} - \widehat {EAF}} \over 2}(1)$

Tam giác ABC có: $\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = {180^0}$   mà $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}(\Delta ABC$  cân tại A)

Nên $\widehat {ABC} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {AEF} = \widehat {ABC}.$

Mà góc AEF và ABC đồng vị. Do đó EF // BC.

HocTot.XYZ