Bài 2 trang 88 SGK Toán 11 tập 2 – Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

a)     Xác định hình chiếu của các đường thẳng SA, SB, SC trên mặt phẳng (ABC)

b)    Giả sử $BC \bot SA, CA \bot SB$. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC và $AB \bot SC$

Lời giải chi tiết

a)      

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ A là hình chiếu của A trên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow$ HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC)

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ B là hình chiếu của B trên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow$ HB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC)

+ H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

+ C là hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABC)

$\Rightarrow$ HC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC)

b, Do H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) $\Rightarrow SH \bot (ABC)$.

Mà  $AB,AC,BC \subset (ABC) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot AC,SH \bot BC$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\SH \bot BC\\SA \cap SH = S\\SA,SH \subset (SAH)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAH) \Rightarrow BC \bot AH\,(1)$

Tương tự $\Rightarrow BH \bot AC\,(1)$

TỪ (1) và (2) $\Rightarrow$ H là trực tâm của tam giác ABC.

Vì $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot (SCH)\\SC \subset (SCH)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot SC$