Bài 3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Lấy ${G_1},{G_2},{G_3}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng $({G_1}{G_2}{G_3})//(BCD)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ với mặt phẳng $(ABD)$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi M, N, P là trung điểm của BC, CD, BD.

Ta có: ${G_1}$ là trọng tâm tam giác ABC, suy ra$\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{2}{3}$.

${G_3}$ là trọng tâm tam giác ABD, suy ra$\frac{{A{G_3}}}{{AP}} = \frac{2}{3}$.

Suy ra tam giác AMP có$\frac{{A{G_1}}}{{AM}} = \frac{{A{G_3}}}{{AP}}$ nên ${G_1}{G_3}//MP$.

Mà MP thuộc (BCD) nên ${G_1}{G_3}//(BCD)$.

Tương tự ta có: ${G_2}{G_3}//(BCD)$.

Do đó, ${G_1}{G_2}{G_3}//(BCD)$.

b) 

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên $\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD$

Giả sử $\left( {ABD} \right) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d$.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right)//(BCD)\\(ABD) \cap (BCD) = BD\\(ABD) \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}} \right) = d\end{array} \right.$

Suy ra d//BD.

Mà ${G_3} \in ({G_1}{G_2}{G_3})$ nên ${G_3}$ là giao điểm của $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng $({G_1}{G_2}{G_3})$ và (ABD) đi qua ${G_3}$ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy $({G_1}{G_2}{G_3}) \cap (ABD) = IK$.