Bài 4 trang 76 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2}\);

b) \(y = \frac{2}{{3 - x}}\);

c) \(y = \sin 2x\cos x\);

d) \(y = {e^{ - 2x + 3}}\);

e) \(y = \ln (x + 1)\);

f) \(y = \ln ({e^x} + 1)\).

Lời giải chi tiết

a) \(y = 2{x^4} - 3{x^3} + 5{x^2} \)

\(\Rightarrow y' = 8{x^3} - 9{x^2} + 10x\)

\(\Rightarrow y'' = 24{x^2} - 18x + 10\).

b) \(y = \frac{2}{{3 - x}} \Rightarrow y' = \frac{{ 2}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^2}}}\)

\(\Rightarrow y'' = \frac{{ -2\left( {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right)'}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} \)

\(= \frac{{ -2.\left( { - 2} \right).\left( {3 - x} \right)}}{{{{\left( {3 - x} \right)}^4}}} = \frac{4}{{{{\left( {3 - x} \right)}^3}}}\).

c) \(y = \sin 2x\cos x\)

\(\Rightarrow y' = 2\cos 2x.\cos x - \sin 2x.\sin x\)

\(= 2.\frac{1}{2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\cos 3x - \cos x} \right)\)

\(= \frac{3}{2}\cos 3x + \frac{1}{2}\cos x\)

\(\Rightarrow y'' =  - \frac{3}{2}.3.\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x \)

\(=  - \frac{9}{2}\sin 3x - \frac{1}{2}\sin x\).

d) \(y = {e^{ - 2x + 3}} \Rightarrow y' =  - 2{e^{ - 2x + 3}}\)

\(\Rightarrow y'' = 4.{e^{ - 2x + 3}}\).

e) \(y = \ln (x + 1) \Rightarrow y' = \frac{1}{{x + 1}} \)

\(\Rightarrow y'' =  - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

f) \(y = \ln ({e^x} + 1) \Rightarrow y' = \frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 1}}\)

\(\Rightarrow y'' = \frac{{\left( {{e^x}} \right)'.\left( {{e^x} + 1} \right) - {e^x}.\left( {{e^x} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} \)

\(= \frac{{{e^x}\left( {{e^x} + 1} \right) - {e^x}.{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}\).