Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC

b) $\Delta EAB=\Delta ECD$

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Bài 1 :

Cho Hình 4.20, biết $AB = CB, AD = CD,\widehat{DAB} = {90^\circ },\widehat{BDC} = {30^\circ }$

a) Chứng minh rằng $\Delta ABD = \Delta CBD$.

b) Tính $\widehat {ABC}$.

Bài 2 :

Cho Hình 4.25, biết $\widehat {DAC} = {60^\circ },AB = AC,DB = DC$. Hãy tính $\widehat {DAB}$.

Bài 3 :

Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho $\widehat {CAO} = \widehat {CBO}.$

a) Chứng minh rằng $\Delta OAC = \Delta OBC$.

b) Lấy điểm $M$ trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng $\Delta MAC = \Delta MBC$.

Bài 4 :

Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.

a) Chứng minh: AD = BC.

b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy

Bài 5 :

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\widehat {BAE} = \widehat {DCE}$. Chứng minh rằng:

a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.

b) $\Delta ACD = \Delta CAB$

c) AD song song với BC. 

Bài 6 :

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\widehat {ADE} = \widehat {BCE}$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {DAC} = \widehat {CBD}$

b) $\Delta AED = \Delta BEC.$

c) $AB//DC$

Bài 7 :

Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (h.4.28)

a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng

AM = DN.

b) Trên hai cạnh AC và DF lấy 2 điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng

BP = EQ.

Bài 8 :

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng $\Delta ABC = \Delta DEF$

Bài 9 :

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Bài 10 :

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như hình vẽ.

a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.

b) Chứng minh rằng $\Delta DAB = \Delta BCD$.

Bài 11 :

Cho hình vẽ dưới đây. Biết đường thẳng AD song song với đường thẳng BC, AD = BC. Chứng minh rằng AB song song với CD.

Bài 12 :

Cho năm điểm A, B,C,D,O như hình vẽ. Biết rằng OA = OB, OC = OD.

a) Chứng minh rằng AC=BD.

b) Chứng minh rằng $\Delta ACD = \Delta BDC$

Bài 13 :

Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Bài 14 :

Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?

Bài 15 :

Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.

a) $\Delta ABE = ?$

b) $\Delta EAB = ?$

c) $? = \Delta CDE$

Bài 16 :

Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

Bài 17 :

Cho góc bẹt $xOy$ có tia phân giác $Ot$. Trên tia $Ot$ lấy hai điểm $A, B$ ($A$ nằm giữa $O$ và $B$). Lấy điểm $C \in Ox$ sao cho $OC = OB$, lấy điểm $D \in Oy$ sao cho $OD = OA$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$.

Bài 18 :

Cho $\Delta ABC$ cân tại A và M là trung điểm của BC. Gọi N là trung điểm của AB, trên tia đối của NC lấy điểm K sao cho $NK = NC$. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABM = \Delta ACM$.

b) $AM \bot BC$.

c) $AK = 2.MB$.

d) $KA \bot AM$.

Bài 19 :

Các cặp tam giác trong Hình 16 có bằng nhau không? Nếu có, chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

Bài 20 :

Cho tam giác ABC có $\hat A = 90^\circ$, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.

Bài 21 :

Cho 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường thẳng d sao cho AB = DE, BC = CD. Điểm M không thuộc d sao cho MC vuông góc với d. Chứng minh rằng:

a)$\Delta MBC = \Delta MDC,\Delta MAC = \Delta MEC$

b)$\Delta MAB = \Delta MED$

Bài 22 :

Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho $DM = DC$.

a) Chứng minh rằng $\Delta ADM = \Delta BDC$. Từ đó suy ra $AM = BC$ và AM//BC.

b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho $EN = EB$. Chứng minh rằng AN//BC.

c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.

Bài 23 :

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $\Delta BKM = \Delta CKN$ từ đó suy ra KC vuông góc với AN.

Bài 24 :

a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của $\widehat {BAC}$ cắt nhau tại K. Chứng minh rằng $\Delta BKM = \Delta CKN$ từ đó suy ra KC vuông góc với AN.