Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A và M là trung điểm của BC. Gọi N là trung điểm của AB, trên tia đối của NC lấy điểm K sao cho \(NK = NC\). Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABM = \Delta ACM\).
b) \(AM \bot BC\).
c) \(AK = 2.MB\).
d) \(KA \bot AM\).
Phương pháp giải
a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.
b) Chứng minh \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) và \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) suy ra \(AM \bot BC\).
c) Chứng minh AK = BC và BC = 2MB nên AK = 2MB.
d) Chứng minh hai góc so le trong \(\widehat {KAN} = \widehat {CBN}\) nên AK // BC, mà \(AM \bot BC\) nên \(AK \bot AM\).
Lời giải của GV HocTot.XYZ
a) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) có:
AB = AC (gt)
AM là cạnh chung
BM = CM (gt)
Suy ra \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.c.c)
b) Vì \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (cmt) suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này là hai góc kề bù nên \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \), suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\). (1)
c) Xét \(\Delta ANK\) và \(\Delta BNC\) có:
NA = NB (gt)
\(\widehat {ANK} = \widehat {BNC}\) (hai góc đối đỉnh)
NK = NC (gt)
suy ra \(\Delta ANK = \Delta BNC\) (c.g.c)
suy ra \(AK = BC\) (hai cạnh tương ứng).
Mà BC = 2.MB (vì M là trung điểm của BC)
Suy ra AK = 2.MB.
d) Vì \(\Delta ANK = \Delta BNC\) nên \(\widehat {KAN} = \widehat {CBN}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong. Do đó AK // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AK \bot AM\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho Hình 4.20, biết \(AB = CB, AD = CD,\widehat{DAB} = {90^\circ },\widehat{BDC} = {30^\circ }\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta ABD = \Delta CBD\).
b) Tính \(\widehat {ABC}\).
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Cho Hình 4.25, biết \(\widehat {DAC} = {60^\circ },AB = AC,DB = DC\). Hãy tính \(\widehat {DAB}\).
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(\widehat {CAO} = \widehat {CBO}.\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta OAC = \Delta OBC\).
b) Lấy điểm \(M\) trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng \(\Delta MAC = \Delta MBC\).
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh: AD = BC.
b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, \(\widehat {BAE} = \widehat {DCE}\). Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) \(\Delta ACD = \Delta CAB\)
c) AD song song với BC.
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, \(\widehat {ADE} = \widehat {BCE}\). Chứng minh rằng:
a) \(\widehat {DAC} = \widehat {CBD}\)
b) \(\Delta AED = \Delta BEC.\)
c) \(AB//DC\)
Xem lời giải >>
Bài 7 :
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (h.4.28)
a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng
AM = DN.
b) Trên hai cạnh AC và DF lấy 2 điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng
BP = EQ.
Xem lời giải >>
Bài 8 :
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng \(\Delta ABC = \Delta DEF\)
Xem lời giải >>
Bài 9 :
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Xem lời giải >>
Bài 10 :
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như hình vẽ.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.
b) Chứng minh rằng \(\Delta DAB = \Delta BCD\).
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Cho hình vẽ dưới đây. Biết đường thẳng AD song song với đường thẳng BC, AD = BC. Chứng minh rằng AB song song với CD.
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Cho năm điểm A, B,C,D,O như hình vẽ. Biết rằng OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh rằng AC=BD.
b) Chứng minh rằng \(\Delta ACD = \Delta BDC\)
Xem lời giải >>
Bài 13 :
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Xem lời giải >>
Bài 14 :
Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?
Xem lời giải >>
Bài 15 :
Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.
a) \( \Delta ABE = ?\)
b) \( \Delta EAB = ?\)
c) \( ? = \Delta CDE\)
Xem lời giải >>
Bài 16 :
Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) \(\Delta EAB=\Delta ECD\)
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Xem lời giải >>
Bài 17 :
Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
Xem lời giải >>
Bài 18 :
Cho góc bẹt \(xOy\) có tia phân giác \(Ot\). Trên tia \(Ot\) lấy hai điểm \(A, B\) (\(A\) nằm giữa \(O\) và \(B\)). Lấy điểm \(C \in Ox\) sao cho \(OC = OB\), lấy điểm \(D \in Oy\) sao cho \(OD = OA\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Tính các góc của tam giác \(MON\).
Xem lời giải >>
Bài 19 :
Các cặp tam giác trong Hình 16 có bằng nhau không? Nếu có, chúng bằng nhau theo trường hợp nào?
Xem lời giải >>
Bài 20 :
Cho tam giác ABC có \(\hat A = 90^\circ \), M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.
Xem lời giải >>
Bài 21 :
Cho 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường thẳng d sao cho AB = DE, BC = CD. Điểm M không thuộc d sao cho MC vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a)\(\Delta MBC = \Delta MDC,\Delta MAC = \Delta MEC\)
b)\(\Delta MAB = \Delta MED\)
Xem lời giải >>
Bài 22 :
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho \(DM = DC\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta ADM = \Delta BDC\). Từ đó suy ra \(AM = BC\) và AM//BC.
b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho \(EN = EB\). Chứng minh rằng AN//BC.
c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.
Xem lời giải >>
Bài 23 :
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
Xem lời giải >>
Bài 24 :
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
Xem lời giải >>