Nội dung từ Loigiaihay.Com
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của ^BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng ΔBKM=ΔCKN từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh.
a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.
Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.
Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra 2AB−BM+CN=2AB.
⇔−BM+CN=0⇔BM=CN
b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Do ME // NC nên ta có:
^IME=^CNI(hai góc so le trong)
^MEI=^NCI(hai góc so le trong)
^MEB=^ACB (hai góc đồng vị) nên ^MEB=^ABC⇒ΔMBEcân tại M nên MB = ME. Do đó, ME = CN.
Ta chứng minh được ΔMEI=ΔNCI(g.c.g)
Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.
c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:
MI = IN (cmt), ^MIK=^NIK=900
IK là cạnh chung. Do đó ΔMIK=ΔNIK(c.g.c).
Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác ABK và ACK có:
AB = AC(gt),
^BAK=^CAK (do BK là tia phân giác của góc BAC),
AK là cạnh chung,
Do đó ΔABK=ΔACK(c.g.c).
Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác BKM và CKN có:
MB = CN, BK = KN, MK = KC,
Do đó ΔBKM=ΔCKN(c.c.c),
Suy ra ^MBK=^KCN.
Mà ^MBK=^ACK⇒^ACK=^KCN=1800:2=900⇒KC⊥AN.(đpcm)
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho Hình 4.20, biết AB=CB,AD=CD,^DAB=90∘,^BDC=30∘
a) Chứng minh rằng ΔABD=ΔCBD.
b) Tính ^ABC.
Bài 2 :
Cho Hình 4.25, biết ^DAC=60∘,AB=AC,DB=DC. Hãy tính ^DAB.
Bài 3 :
Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A,B,C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho ^CAO=^CBO.
a) Chứng minh rằng ΔOAC=ΔOBC.
b) Lấy điểm M trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng ΔMAC=ΔMBC.
Bài 4 :
Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy hai điểm A, C. Trên tia Oy lấy hai điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh: AD = BC.
b) Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy
Bài 5 :
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, ^BAE=^DCE. Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) ΔACD=ΔCAB
c) AD song song với BC.
Bài 6 :
Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, ^ADE=^BCE. Chứng minh rằng:
a) ^DAC=^CBD
b) ΔAED=ΔBEC.
c) AB//DC
Bài 7 :
Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (h.4.28)
a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng
AM = DN.
b) Trên hai cạnh AC và DF lấy 2 điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng
BP = EQ.
Bài 8 :
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng ΔABC=ΔDEF
Bài 9 :
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như H4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Bài 10 :
Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OC, OB = OD như hình vẽ.
a) Hãy tìm hai cặp tam giác có chung đỉnh O bằng nhau.
b) Chứng minh rằng ΔDAB=ΔBCD.
Bài 11 :
Cho hình vẽ dưới đây. Biết đường thẳng AD song song với đường thẳng BC, AD = BC. Chứng minh rằng AB song song với CD.
Bài 12 :
Cho năm điểm A, B,C,D,O như hình vẽ. Biết rằng OA = OB, OC = OD.
a) Chứng minh rằng AC=BD.
b) Chứng minh rằng ΔACD=ΔBDC
Bài 13 :
Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.
Bài 14 :
Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a,b) có bằng nhau không? Vì sao?
Bài 15 :
Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.
a) ΔABE=?
b) ΔEAB=?
c) ?=ΔCDE
Bài 16 :
Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) AD = BC
b) ΔEAB=ΔECD
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Bài 17 :
Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N. Chứng minh:
a) Nếu OM = ON thì AM // BN;
b) Nếu AM // BN thì OM = ON.
Bài 18 :
Cho góc bẹt xOy có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy hai điểm A,B (A nằm giữa O và B). Lấy điểm C∈Ox sao cho OC=OB, lấy điểm D∈Oy sao cho OD=OA. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC và BD.
Tính các góc của tam giác MON.
Bài 19 :
Cho ΔABC cân tại A và M là trung điểm của BC. Gọi N là trung điểm của AB, trên tia đối của NC lấy điểm K sao cho NK=NC. Chứng minh rằng:
a) ΔABM=ΔACM.
b) AM⊥BC.
c) AK=2.MB.
d) KA⊥AM.
Bài 20 :
Các cặp tam giác trong Hình 16 có bằng nhau không? Nếu có, chúng bằng nhau theo trường hợp nào?
Bài 21 :
Cho tam giác ABC có ˆA=90∘, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC = 2AM.
Bài 22 :
Cho 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường thẳng d sao cho AB = DE, BC = CD. Điểm M không thuộc d sao cho MC vuông góc với d. Chứng minh rằng:
a)ΔMBC=ΔMDC,ΔMAC=ΔMEC
b)ΔMAB=ΔMED
Bài 23 :
Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM=DC.
a) Chứng minh rằng ΔADM=ΔBDC. Từ đó suy ra AM=BC và AM//BC.
b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN=EB. Chứng minh rằng AN//BC.
c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.
Bài 24 :
Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của ^BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng ΔBKM=ΔCKN từ đó suy ra KC vuông góc với AN.