Đề bài

Cho $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{x\sqrt x {\rm{\;}} - \sqrt x {\rm{\;}} + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$ với $x \ge 0,x \ne 1.$

a) Rút gọn A.

b) Tìm$x \in \mathbb{Z}$ để $A \in \mathbb{Z}$.

c) Tìm x để A đạt GTNN.

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn phân thức

b) Tính và đưa A về dạng $A = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là biểu thức chứa x.

c) Từ điều kiện của x để tìm giá trị lớn nhất của A.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Với $x \ge 0,x \ne 1$ ta có:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{x\sqrt x {\rm{\;}} - \sqrt x {\rm{\;}} + x - 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{x - 1}}} \right)$$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} - \frac{{2\sqrt x {\rm{\;}} - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}} \right)$

$A = \frac{{x - 1 - 2\sqrt x {\rm{\;}} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{x - 2\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\left( {\sqrt x {\rm{ \;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x {\rm{\;}} - 1} \right)\left( {\sqrt x {\rm{\;}} + 1} \right)}}$

$A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$.

b) Ta có $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1 - 2}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ge 0} \right).$

Đặt $B = \sqrt x {\rm{\;}} + 1$, để A nguyên khi x nguyên thì B là ước nguyên của 2.

Vì $x \ge 0$ nên $B > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} $, suy ra B là ước nguyên dương của 2.

Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}$

TH1: $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 1$ suy ra $x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)$

TH2: $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 = 2$ suy ra $x = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)$

Vậy $x = 0$ thì A nguyên.

c) Ta có $A = \frac{{\sqrt x {\rm{\;}} - 1}}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}}$.

Vì $\sqrt x {\rm{\;}} + 1 \ge 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sqrt x {\rm{\;}} \ge 0} \right)$ nên $\frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \le \frac{2}{1}$

Suy ra $ - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 2$

Do đó $1 - \frac{2}{{\sqrt x {\rm{\;}} + 1}} \ge {\rm{\;}} - 1$ hay $A \ge {\rm{\;}} - 1$.

Dấu “=” xảy ra khi $x = 0.$

Vậy $\min A = {\rm{\;}} - 1$ khi $x = 0$.

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } $ là:

A.

$5-2\sqrt 5$
B.

$4$
C.

$2+2\sqrt 5$
D.

$1$