Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Khối rubik như hình vẽ có độ dài cạnh bằng 2. Khi gắn rubik vào hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AA’ (xem hình vẽ bên dưới). Biết rằng cos[B,MN,D’] = m, tính giá trị 14m.
Đáp án:
Đáp án
Đáp án:
Phương pháp giải
Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của B, D’ trên MN.
Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {D'H'} } \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AA’, suy ra M(1;2;0), N(0;0;1).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\, - 2;\,1} \right)\) \( \Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Gọi \(H\left( {t;2t;1 - t} \right)\), \(H'\left( {u;2u;1 - u} \right)\) theo thứ tự là hình chiếu của B, D’ trên MN.
\(\overrightarrow {BH} \left( {t - 2;2t;1 - t} \right);\overrightarrow {D'H'} \left( {u;2u - 2; - 1 - u} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;\, - 2;\,1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - t - 4t + 1 - t = 0\\ - u - 4u + 4 - 1 - u = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\u = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BH} \left( { - \frac{3}{2};1;\frac{1}{2}} \right);\overrightarrow {D'H'} \left( {\frac{1}{2}; - 1; - \frac{3}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \cos \left[ {B,MN,D'} \right] = \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {D'H'} } \right) = \frac{{ - \frac{3}{4} - 1 - \frac{3}{4}}}{{\sqrt {\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}} .\sqrt {\frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{4}} }} = - \frac{5}{7}\)
\( \Rightarrow \cos \left[ {B,MN,D'} \right] = - \frac{5}{7} = m \Rightarrow 14m = - 10\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {0;2;1} \right),B\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(C\left( { - 2;5;7} \right)\).
a) Tính chu vi của tam giác ABC.
b) Tính \(\widehat {BAC}\).
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Cho các điểm A(–1; –1; 0), B(0; 3; –1), C(–1; 14; 0), D(–3; 6; 2). Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C′(4; 5; –5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Cho điểm \(A\left( {3; - 1;1} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là điểm
A. \(M\left( {3;0;0} \right)\).
B. \(N\left( {0; - 1;1} \right)\).
C. \(P\left( {0; - 1;0} \right)\).
D. \(Q\left( {0;0;1} \right)\).
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho điểm \(M\left( { - 3;2; - 1} \right)\) và điểm \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Toạ độ của điểm \(M'\) là
A. \(\left( { - 3;2;1} \right)\).
B. \(\left( {3;2;1} \right)\).
C. \(\left( {3;2; - 1} \right)\).
D. \(\left( {3; - 2; - 1} \right)\).
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {2;1; - 1} \right)\) trên trục \(Oz\) có toạ độ là
A. \(\left( {2;1;0} \right)\).
B. \(\left( {0;0; - 1} \right)\).
C. \(\left( {2;0;0} \right)\).
D. \(\left( {0;1;0} \right)\).
Xem lời giải >>
Bài 7 :
Cho điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right)\) và điểm \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục \(Oy\). Toạ độ của điểm \(A'\) là
A. \(\left( {3; - 1; - 2} \right)\).
B. \(\left( {3; - 1;2} \right)\).
C. \(\left( {3;1; - 2} \right)\).
D. \(\left( { - 3; - 1;2} \right)\).
Xem lời giải >>