Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc ABC cắt AH ở D và cắt AC ở E.
a) Chứng minh : AB.HD = AE.HB
b) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABE và BHD biết AB = 6cm và AC = 8cm.
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ
b) Áp dụng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng
a) Ta có \(BE\) là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt)
nên \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\)
Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta BHD\) có:
\({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\) (chứng minh trên)
\(\widehat {BAE} = \widehat {BHD}\)
Suy ra \(\Delta BAE\backsim\Delta BHD{\rm{ (g}}{\rm{.g)}}\)
Suy ra \(\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{AE}}{{HD}}\) (Hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(AB \cdot HD = AE \cdot HB\) (đpcm)
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (Định lý Py-ta-go)
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10{\rm{ (cm)}}\)
Xét hai tam giác \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có
\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB{\rm{ }}}\)
\(\widehat {ABC}\) chung
Suy ra \(\Delta AHB\backsim\Delta CAB{\rm{ (g}}{\rm{.g)}}\)
Suy ra \(\frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) (Hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6{\rm{ (cm)}}\)
Vì \(\Delta BAE\backsim\Delta BHD\) (chứng minh trên) nên:
\(\frac{{{S_{BAE}}}}{{{S_{BHD}}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{HB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{6}{{3,6}}} \right)^2} = \frac{{25}}{9}\)
Tính chất của hai tam giác đồng dạng
Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau thì:
+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
+ Tỉ số hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
+ Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
+ Tỉ số các chu vi bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số các diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Danh sách bình luận