Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xét tính tăng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

LG a

Dãy số (un) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\)

Phương pháp giải:

Xét hiệu un+1 – un và so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7\cr& - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr 
& = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 \cr&- 3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + 5n + 5 - 7\cr& - {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr& = 3n\left( {n - 1} \right) + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

LG b

Dãy số (xn) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

Phương pháp giải:

Xét tỉ số \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^*\cr&\text{vì } \,3n + 3 > n + 2\;\forall n  \in \mathbb N^*  \cr 
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

LG c

Dãy số (an) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Phương pháp giải:

Viết lại công thức xác định an dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) (sử dụng nhân chia liên hợp)

Tiếp theo, xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr& = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr 
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

 HocTot.XYZ

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

close