Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng dãy số (un) với un=2n+33n+2 là một dãy số giảm và bị chặn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xét hiệu H=un+1un, chứng minh H<0.

- Đánh giá un bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực m,M sao cho munM.

Lời giải chi tiết

Ta có:

un=2n+33n+2=23(3n+2)+533n+2=23+53(3n+2)

un+1un=(23+53[3(n+1)+2])(23+53(3n+2))=23+53(3n+5)2353(3n+2)=53(3n+5)53(3n+2)=5(3n+2)5(3n+5)3(3n+5)(3n+2)=153(3n+5)(3n+2)=5(3n+5)(3n+2)<0,nN

(un) là dãy số giảm

Ta lại có:

+) 2n+33n+2>0,nN

+) 2n+3<3n+2,nN vì 2n+33n2=n+10,nN

Do đó 0<2n+33n+21nN

Vậy (un) là dãy số giảm và bị chặn.

Cách khác:

un=2n+33n+2un+1un=2(n+1)+33(n+1)+22n+33n+2=2n+53n+52n+33n+2=(2n+5)(3n+2)(2n+3)(3n+5)(3n+5)(3n+2)=6n2+19n+106n219n15(3n+5)(3n+2)=5(3n+5)(3n+2)<0,nN

Do đó (un) là dãy số giảm.

 HocTot.XYZ

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close