Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng caoChứng minh rằng Đề bài Chứng minh rằng dãy số (un) với un=2n+33n+2 là một dãy số giảm và bị chặn. Phương pháp giải - Xem chi tiết - Xét hiệu H=un+1−un, chứng minh H<0. - Đánh giá un bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực m,M sao cho m≤un≤M. Lời giải chi tiết Ta có: un=2n+33n+2=23(3n+2)+533n+2=23+53(3n+2) un+1−un=(23+53[3(n+1)+2])−(23+53(3n+2))=23+53(3n+5)−23−53(3n+2)=53(3n+5)−53(3n+2)=5(3n+2)−5(3n+5)3(3n+5)(3n+2)=−153(3n+5)(3n+2)=−5(3n+5)(3n+2)<0,∀n∈N∗ ⇒(un) là dãy số giảm Ta lại có: +) 2n+33n+2>0,∀n∈N∗ +) 2n+3<3n+2,∀n∈N∗ vì 2n+3−3n−2=−n+1≤0,∀n∈N∗ Do đó 0<2n+33n+2≤1∀n∈N∗ Vậy (un) là dãy số giảm và bị chặn. Cách khác: un=2n+33n+2⇒un+1−un=2(n+1)+33(n+1)+2−2n+33n+2=2n+53n+5−2n+33n+2=(2n+5)(3n+2)−(2n+3)(3n+5)(3n+5)(3n+2)=6n2+19n+10−6n2−19n−15(3n+5)(3n+2)=−5(3n+5)(3n+2)<0,∀n∈N∗ Do đó (un) là dãy số giảm. HocTot.XYZ
|