Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỷ có bậc tử cao hơn bậc mẫu, ta chia tử cho mẫu sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm của hàm số cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\int {\frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x + 1}}dx}  = \int {\frac{{{x^2} + 2x + 1 + 2}}{{x + 1}}dx} \\ = \int {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}}{{x + 1}}dx}  = \int {\left( {x + 1} \right)dx}  + \int {\frac{2}{{x + 1}}dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x + 1} \right| + C.\end{array}\)

Chọn C.