Dạng bài chứng minh đẳng thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

* Tính chất của tỉ lệ thức:

- Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $ad = bc$.

- Nếu $ad = bc$ (với $a,b,c,d \ne 0$) thì ta có bốn tỉ lệ thức:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$.

* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

- Từ tỉ lệ thức $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

- Từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}$ suy ra:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + b + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}$ (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

* Đặt “k”

Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k.

Bước 2. Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.

Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức đúng.

Bài tập

Bài 1: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}$

b) $\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}$ ($a + b \ne 0,c + d \ne 0$).

Bài 2: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}$

b) $\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$.

Bài 3: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}$

b) $\frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}$

Bài 4: Chứng minh rằng nếu ${a^2} = bc$ (với $a \ne b$ và $a \ne c$) thì $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}$.

Bài 5: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{a}{{3a + b}} = \frac{c}{{3c + d}}$.

Bài 6: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}$.

Bài 7: Cho $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$. Chứng minh $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$.

Bài 8: Cho $\frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{z + x}} = \frac{z}{{x + y}}$. Chứng minh $\frac{x}{{y + z}} = \frac{1}{2}$.

Bài 9: Cho $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ${\left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3} = \frac{a}{d}$.

Bài 10: Cho $a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$ và $x:y:z = a:b:c$.

Chứng minh rằng ${\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$.

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}$

b) $\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}$ ($a + b \ne 0,c + d \ne 0$).

Phương pháp

a) $\frac{{a + b}}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1;\frac{{c + d}}{d} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d} = \frac{c}{d} + 1$.

Từ đó viết lại $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$ suy ra điều phải chứng minh.

b) Nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.

Lời giải

a) Ta có: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$.

Do đó $\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}$.

b) Ta có: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$, suy ra $\frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1$.

Do đó $\frac{{b + a}}{a} = \frac{{d + c}}{c}$, vì vậy $\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}$.

Bài 2: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}$

b) $\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$.

Phương pháp

a) Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức, đưa $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ về $ad = bc$.

Cộng cả hai vế của đẳng thức với $ab$, đưa về dạng tỉ lệ thức.

b) Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = t$, biểu diễn a, c theo t.

Thay hai vế của đẳng thức bởi t để chứng minh.

Lời giải

a) $\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}$

Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $ad = bc$, dó đó $ad + ab = bc + ab$

Suy ra $a\left( {d + b} \right) = b\left( {c + a} \right)$, do đó $\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}$.

b) $\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$.

Đặt $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = t$, suy ra $a = bt;c = dt$.

Xét vế trái:

$\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{bt.dt}}{{bd}} = \frac{{bd{t^2}}}{{bd}} = {t^2}$.

Xét vế phải:

$\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{{\left( {bt} \right)}^2} + {{\left( {dt} \right)}^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{b^2}{t^2} + {d^2}{t^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{\left( {{b^2} + {d^2}} \right){t^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = {t^2}$.

Do đó $\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}$.

Bài 3: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh:

a) $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}$

b) $\frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}$

Phương pháp

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

a) Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}$.

b) Ta có: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{b} = \frac{{3a}}{{3b}} = \frac{{ - 2c}}{{ - 2d}} = \frac{c}{d} = \frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}}$.

Tương tự ta có: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{3c}}{{3d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}$.

Do đó $\frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}$.

Bài 4: Chứng minh rằng nếu ${a^2} = bc$ (với $a \ne b$ và $a \ne c$) thì $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}$.

Phương pháp

Từ ${a^2} = bc$ lập tỉ lệ thức.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Vì ${a^2} = bc$ nên $\frac{a}{c} = \frac{b}{a}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{c} = \frac{b}{a} = \frac{{a + b}}{{c + a}} = \frac{{a - b}}{{c - a}}$

Do đó $\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}$.

Bài 5: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{a}{{3a + b}} = \frac{c}{{3c + d}}$.

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Ta có: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Do đó $\frac{a}{c} = \frac{{3a}}{{3c}} = \frac{b}{d}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{c} = \frac{{3a}}{{3c}} = \frac{b}{d} = \frac{{3a + b}}{{3c + d}}$

Suy ra $\frac{a}{c} = \frac{{3a + b}}{{3c + d}}$.

Do đó $\frac{a}{{3a + b}} = \frac{c}{{3c + d}}$

Bài 6: Cho $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh $\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}$.

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Vì $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ nên $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{a - b}}{{c - d}}$.

Ta có: $\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d} = \frac{{a - b}}{{c - d}}.\frac{{a - b}}{{c - d}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}$.

Vậy $\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}$.

Bài 7: Cho $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}$. Chứng minh $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$.

Phương pháp

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{{bz - cy}}{a}$ với $x$;

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{{cx - az}}{b}$ với $y$;

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{{ay - bx}}{c}$ với $z$.

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh $\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = 0$

Suy ra các tỉ số tương ứng cần chứng minh.

Lời giải

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\\ = \frac{{bxz - cxy}}{{ax}} = \frac{{cxy - ayz}}{{by}} = \frac{{ayz - bxz}}{{cz}}\\ = \frac{{bxz - cxy + cxy - ayz + ayz - bxz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{0}{{ax + by + cz}} = 0\end{array}$

+)  $\frac{{bz - cy}}{a} = 0$ suy ra $bz - cy = 0$ nên $bz = cy$, suy ra $\frac{z}{c} = \frac{y}{b}$ (1)

+) $\frac{{cx - az}}{b} = 0$ suy ra $cx - az = 0$ nên $cx = az$, suy ra $\frac{x}{a} = \frac{z}{c}$ (2)

+) $\frac{{ay - bx}}{c} = 0$ suy ra $ay - bx = 0$ nên $ay = bx$, suy ra $\frac{y}{b} = \frac{x}{a}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$.

Bài 8: Cho $\frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{z + x}} = \frac{z}{{x + y}}$. Chứng minh $\frac{x}{{y + z}} = \frac{1}{2}$.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}$.

Lời giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{z + x}} = \frac{z}{{x + y}} = \frac{{x + y + z}}{{y + z + z + x + x + y}} = \frac{{x + y + z}}{{2x + 2y + 2z}} = \frac{{x + y + z}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{x}{{y + z}} = \frac{1}{2}$.

Bài 9: Cho $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$. Chứng minh rằng ${\left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3} = \frac{a}{d}$.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}$.

Lời giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}$

Ta có: $\frac{a}{d} = \frac{{abc}}{{bcd}} = \frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}} = {\left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3}$.

Bài 10: Cho $a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$ và $x:y:z = a:b:c$.

Chứng minh rằng ${\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}$.

Lời giải

Vì $x:y:z = a:b:c$ nên $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = x + y + z$ (do $a + b + c = 1$)

suy ra ${\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = {\left( {x + y + z} \right)^2}$

Ta lại có $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$ (do ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 1$)

Vậy ${\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}$.