Dạng bài chứng minh đẳng thức - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

* Tính chất của tỉ lệ thức:

- Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).

- Nếu \(ad = bc\) (với \(a,b,c,d \ne 0\)) thì ta có bốn tỉ lệ thức:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}\).

* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

- Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

- Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + b + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

* Đặt “k”

Bước 1: Đặt tỉ lệ thức ban đầu có giá trị bằng k.

Bước 2. Biểu diễn tử theo tích của k với các mẫu tương ứng.

Bước 3. Thay các giá trị vừa có vào đẳng thức cần chứng minh để dẫn đến một hệ thức đúng.

Bài tập

Bài 1: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh:

a) \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)

b) \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}\) (\(a + b \ne 0,c + d \ne 0\)).

Bài 2: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh:

a) \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\)

b) \(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}\).

Bài 3: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh:

a) \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}\)

b) \(\frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}\)

Bài 4: Chứng minh rằng nếu \({a^2} = bc\) (với \(a \ne b\) và \(a \ne c\)) thì \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}\).

Bài 5: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh \(\frac{a}{{3a + b}} = \frac{c}{{3c + d}}\).

Bài 6: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}\).

Bài 7: Cho \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\). Chứng minh \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Bài 8: Cho \(\frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{z + x}} = \frac{z}{{x + y}}\). Chứng minh \(\frac{x}{{y + z}} = \frac{1}{2}\).

Bài 9: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng \({\left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3} = \frac{a}{d}\).

Bài 10: Cho \(a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(x:y:z = a:b:c\).

Chứng minh rằng \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\).

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh:

a) \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)

b) \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}\) (\(a + b \ne 0,c + d \ne 0\)).

Phương pháp

a) \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1;\frac{{c + d}}{d} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d} = \frac{c}{d} + 1\).

Từ đó viết lại \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\) suy ra điều phải chứng minh.

b) Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\).

Do đó \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\).

b) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\), suy ra \(\frac{b}{a} + 1 = \frac{d}{c} + 1\).

Do đó \(\frac{{b + a}}{a} = \frac{{d + c}}{c}\), vì vậy \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{c}{{c + d}}\).

Bài 2: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh:

a) \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\)

b) \(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}\).

Phương pháp

a) Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức, đưa \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) về \(ad = bc\).

Cộng cả hai vế của đẳng thức với \(ab\), đưa về dạng tỉ lệ thức.

b) Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = t\), biểu diễn a, c theo t.

Thay hai vế của đẳng thức bởi t để chứng minh.

Lời giải

a) \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\)

Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(ad = bc\), dó đó \(ad + ab = bc + ab\)

Suy ra \(a\left( {d + b} \right) = b\left( {c + a} \right)\), do đó \(\frac{a}{b} = \frac{{a + c}}{{b + d}}\).

b) \(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}\).

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = t\), suy ra \(a = bt;c = dt\).

Xét vế trái:

\(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{bt.dt}}{{bd}} = \frac{{bd{t^2}}}{{bd}} = {t^2}\).

Xét vế phải:

\(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{{\left( {bt} \right)}^2} + {{\left( {dt} \right)}^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{b^2}{t^2} + {d^2}{t^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{\left( {{b^2} + {d^2}} \right){t^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = {t^2}\).

Do đó \(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}}\).

Bài 3: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh:

a) \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + d}}{{c - d}}\)

b) \(\frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}\)

Phương pháp

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

a) Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\).

b) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{b} = \frac{{3a}}{{3b}} = \frac{{ - 2c}}{{ - 2d}} = \frac{c}{d} = \frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}}\).

Tương tự ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{3c}}{{3d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}\).

Do đó \(\frac{{3a - 2c}}{{3b - 2d}} = \frac{{a + 3c}}{{b + 3d}}\).

Bài 4: Chứng minh rằng nếu \({a^2} = bc\) (với \(a \ne b\) và \(a \ne c\)) thì \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}\).

Phương pháp

Từ \({a^2} = bc\) lập tỉ lệ thức.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Vì \({a^2} = bc\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{a}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{c} = \frac{b}{a} = \frac{{a + b}}{{c + a}} = \frac{{a - b}}{{c - a}}\)

Do đó \(\frac{{a + b}}{{a - b}} = \frac{{c + a}}{{c - a}}\).

Bài 5: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh \(\frac{a}{{3a + b}} = \frac{c}{{3c + d}}\).

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Do đó \(\frac{a}{c} = \frac{{3a}}{{3c}} = \frac{b}{d}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{c} = \frac{{3a}}{{3c}} = \frac{b}{d} = \frac{{3a + b}}{{3c + d}}\)

Suy ra \(\frac{a}{c} = \frac{{3a + b}}{{3c + d}}\).

Do đó \(\frac{a}{{3a + b}} = \frac{c}{{3c + d}}\)

Bài 6: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}\).

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải

Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{a - b}}{{c - d}}\).

Ta có: \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d} = \frac{{a - b}}{{c - d}}.\frac{{a - b}}{{c - d}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}\).

Vậy \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {c - d} \right)}^2}}}\).

Bài 7: Cho \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\). Chứng minh \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Phương pháp

Nhân cả tử và mẫu của \(\frac{{bz - cy}}{a}\) với \(x\);

Nhân cả tử và mẫu của \(\frac{{cx - az}}{b}\) với \(y\);

Nhân cả tử và mẫu của \(\frac{{ay - bx}}{c}\) với \(z\).

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = 0\)

Suy ra các tỉ số tương ứng cần chứng minh.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\\ = \frac{{bxz - cxy}}{{ax}} = \frac{{cxy - ayz}}{{by}} = \frac{{ayz - bxz}}{{cz}}\\ = \frac{{bxz - cxy + cxy - ayz + ayz - bxz}}{{ax + by + cz}}\\ = \frac{0}{{ax + by + cz}} = 0\end{array}\)

+)  \(\frac{{bz - cy}}{a} = 0\) suy ra \(bz - cy = 0\) nên \(bz = cy\), suy ra \(\frac{z}{c} = \frac{y}{b}\) (1)

+) \(\frac{{cx - az}}{b} = 0\) suy ra \(cx - az = 0\) nên \(cx = az\), suy ra \(\frac{x}{a} = \frac{z}{c}\) (2)

+) \(\frac{{ay - bx}}{c} = 0\) suy ra \(ay - bx = 0\) nên \(ay = bx\), suy ra \(\frac{y}{b} = \frac{x}{a}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\).

Bài 8: Cho \(\frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{z + x}} = \frac{z}{{x + y}}\). Chứng minh \(\frac{x}{{y + z}} = \frac{1}{2}\).

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{{y + z}} = \frac{y}{{z + x}} = \frac{z}{{x + y}} = \frac{{x + y + z}}{{y + z + z + x + x + y}} = \frac{{x + y + z}}{{2x + 2y + 2z}} = \frac{{x + y + z}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{x}{{y + z}} = \frac{1}{2}\).

Bài 9: Cho \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng \({\left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3} = \frac{a}{d}\).

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}\)

Ta có: \(\frac{a}{d} = \frac{{abc}}{{bcd}} = \frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d} = \frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}} = {\left( {\frac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3}\).

Bài 10: Cho \(a + b + c = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(x:y:z = a:b:c\).

Chứng minh rằng \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\).

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\).

Lời giải

Vì \(x:y:z = a:b:c\) nên \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \frac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = x + y + z\) (do \(a + b + c = 1\))

suy ra \({\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} = {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

Ta lại có \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) (do \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\))

Vậy \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\).