Dạng bài tìm thành phần chưa biết - Ôn hè Toán 7 lên 8

Lý thuyết

* Tính chất của tỉ lệ thức:

- Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).

- Nếu \(ad = bc\) (với \(a,b,c,d \ne 0\)) thì ta có bốn tỉ lệ thức:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d};\frac{a}{c} = \frac{b}{d};\frac{d}{b} = \frac{c}{a};\frac{d}{c} = \frac{b}{a}\).

Nhận xét: Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (\(a,b,c,d \ne 0\)) suy ra

\(a = \frac{{bc}}{d}\); \(b = \frac{{ad}}{c}\); \(c = \frac{{ad}}{b}\); \(d = \frac{{bc}}{a}\).

* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

- Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

- Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + b + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\) (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Chú ý: Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\), ta còn nói các số \(a,c,e\) tỉ lệ với các số \(b,d,f\).

      Khi đó ta cũng viết \(a:c:e = b:d:f\).

Bài tập

Bài 1: Cho tỉ lệ thức \(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 4}}{5}\) thì:

A. \(x = \frac{{ - 4}}{3}\).

B. \(x = 4\).

C. \(x =  - 12\).

D. \(x =  - 10\).

Bài 2: Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \(\frac{{16}}{x} = \frac{x}{{25}}\)

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(0\).

D. \(3\).

Bài 3: Giá trị nào của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} = \frac{7}{{6 - 3x}}\)

A. x = 0.

B. x = -1.

C. \(x = 2\).

D. Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Bài 4: Tìm hai số x;y biết \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y =  - 32\)

A. \(x =  - 20;y =  - 12\).

B. \(x =  - 12;y = 20\).

C. \(x =  - 12;y =  - 20\) .

D. \(x = 12;y =  - 20\).

Bài 5: Cho \(7x = 4y\) và \(y - x = 24\). Tính x;y.

A. \(y = 4;x = 7\) .

B. \(x = 32;y = 56\).

C. \(x = 56;y = 32\).

D. \(x = 4;y = 7\).

Bài 6: Tìm \(x\) trong tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{{2x}}{6} = \frac{5}{3}\)

b) \(\frac{x}{8} = \frac{5}{4}\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{6} = \frac{{24}}{{25}}\).

Bài 7: Tìm \(x\), biết:

a) \(x:7,5 = 2,5:7,5\)

b) \(\frac{{26}}{x} = \frac{{12}}{{42}}\).

Bài 8: Tìm \(x\), biết:

a) \(\frac{5}{{x - 2}} = \frac{{15}}{6}\)

b) \(\frac{4}{9}:\left( {x + 0,4} \right) = \frac{2}{3}\)

c) \(\frac{{x + 1}}{8} = \frac{1}{{x - 1}}\).

Bài 9: Tìm hai số \(x,y\) biết: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = 16\).

Bài 10: Tìm hai số \(x,y\), biết: \(x:2 = y:\left( { - 5} \right)\) và \(x - y =  - 7\).

Bài 11: Tìm ba số \(x,y,z\) biết: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\) và \(x + 2y - 3z =  - 12\).

Bài 12: Tìm \(x,y\), biết: \(\frac{x}{4} = \frac{y}{7}\) và \(xy = 112\).

Bài 13: Tìm các số \(a,b,c\) biết rằng \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) và \({a^2} - {b^2} + 2{c^2} = 108\).

--------Hết--------

Lời giải chi tiết:

Bài 1: Cho tỉ lệ thức \(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 4}}{5}\) thì:

A. \(x = \frac{{ - 4}}{3}\).

B. \(x = 4\).

C. \(x =  - 12\).

D. \(x =  - 10\).

Phương pháp

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\)( b, d khác 0) để từ đó tìm \(x\).

Lời giải

\(\frac{x}{{15}} = \frac{{ - 4}}{5}\)
\(x.5 = 15.( - 4)\)
\(5x =  - 60\)
\(x =  - 60:5\)
\(x =  - 12\)
Vậy x = -12.

Đáp án: C

Bài 2: Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \(\frac{{16}}{x} = \frac{x}{{25}}\)

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(0\).

D. \(3\).

Phương pháp

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\) (b, d khác 0) để từ đó tìm \(x\).

Chú ý: Nếu x² = a² thì x = a hoặc x = -a

Lời giải

\(\frac{{16}}{x} = \frac{x}{{25}}\)

x² = 16 . 25

x² = 400

\(x = 20\) hoặc \(x =  - 20\)

Vậy \(x = 20\) hoặc \(x =  - 20\).

Đáp án: B

Bài 3: Giá trị nào của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} = \frac{7}{{6 - 3x}}\)

A. x = 0.

B. x = -1.

C. \(x = 2\).

D. Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Phương pháp

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\) ( b, d khác 0) để từ đó tìm \(x\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{{ - 3}}{{x - 2}} = \frac{7}{{6 - 3x}}\) (Điều kiện: \(x - 2 \ne 0;6 - 3x \ne 0\) hay \(x \ne 2\))

\(\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3.(6 - 3x) = 7.(x - 2)}\\{ - 18 + 9x = 7x - 14}\\{9x - 7x = \; - 14 + 18}\\{{\rm{ }}\;2x = 4}\end{array}\)

x = 2 ( Loại vì không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không tìm được x thỏa mãn điều kiện

Đáp án: D

Bài 4: Tìm hai số x;y biết \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y =  - 32\)

A. \(x =  - 20;y =  - 12\).

B. \(x =  - 12;y = 20\).

C. \(x =  - 12;y =  - 20\) .

D. \(x = 12;y =  - 20\).

Phương pháp

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} =  - 4\)

Do đó \(\frac{x}{3} =  - 4\) suy ra \(x =  - 12\) 

và \(\frac{y}{5} =  - 4\) suy ra \(y =  - 20.\)

Vậy \(x =  - 12;y =  - 20.\)

Đáp án: C

Bài 5: Cho \(7x = 4y\) và \(y - x = 24\). Tính x;y.

A. \(y = 4;x = 7\) .

B. \(x = 32;y = 56\).

C. \(x = 56;y = 32\).

D. \(x = 4;y = 7\).

Phương pháp

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải

Ta có \(7x = 4y\) nên \(\frac{x}{4} = \frac{y}{7}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\frac{y}{7} = \frac{x}{4} = \frac{{y - x}}{{7 - 4}} = \frac{{24}}{3} = 8\)

Do đó \(x = 8.4 = 32\) và \(y = 8.7 = 56\)

Vậy \(x = 32;y = 56.\)

Đáp án: B

Bài 6: Tìm \(x\) trong tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{{2x}}{6} = \frac{5}{3}\)

b) \(\frac{x}{8} = \frac{5}{4}\)

c) \(\frac{{{x^2}}}{6} = \frac{{24}}{{25}}\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về tỉ lệ thức: Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(a = \frac{{b.c}}{d}\).

Lời giải

a) \(\frac{{2x}}{6} = \frac{5}{3}\)

\(\begin{array}{l}2x = \frac{{6.5}}{3}\\2x = 10\\x = 5\end{array}\)

Vậy \(x = 5\).

b) \(\frac{x}{8} = \frac{5}{4}\)

\(\begin{array}{l}x = \frac{{8.5}}{4}\\x = 10\end{array}\)

Vậy \(x = 10\).

c) \(\frac{{{x^2}}}{6} = \frac{{24}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = \frac{{6.24}}{{25}}\\{x^2} = \frac{{144}}{{25}}\end{array}\)

suy ra \(x = \sqrt {\frac{{144}}{{25}}}  = \frac{{12}}{5}\) hoặc \(x =  - \sqrt {\frac{{144}}{{25}}}  =  - \frac{{12}}{5}\).

Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{12}}{5}; - \frac{{12}}{5}} \right\}\).

Bài 7: Tìm \(x\), biết:

a) \(x:7,5 = 2,5:7,5\)

b) \(\frac{{26}}{x} = \frac{{12}}{{42}}\).

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về tỉ lệ thức: Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(a = \frac{{b.c}}{d}\); \(b = \frac{{ad}}{c}\).

Lời giải

a) \(x:7,5 = 2,5:7,5\)

\(\frac{x}{{7,5}} = \frac{{2,5}}{{7,5}}\)

suy ra \(x = 2,5\)

Vậy \(x = 2,5\).

b) \(\frac{{26}}{x} = \frac{{12}}{{42}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{26}}{x} = \frac{2}{7}\\x = \frac{{26.7}}{2}\\x = 91\end{array}\)

Vậy \(x = 91\).

Bài 8: Tìm \(x\), biết:

a) \(\frac{5}{{x - 2}} = \frac{{15}}{6}\)

b) \(\frac{4}{9}:\left( {x + 0,4} \right) = \frac{2}{3}\)

c) \(\frac{{x + 1}}{8} = \frac{1}{{x - 1}}\).

Phương pháp

- Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì \(ad = bc\).

- Từ tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) (\(a,b,c,d \ne 0\)) suy ra

\(a = \frac{{bc}}{d}\); \(b = \frac{{ad}}{c}\); \(c = \frac{{ad}}{b}\); \(d = \frac{{bc}}{a}\).

Lời giải

a) \(\frac{5}{{x - 2}} = \frac{{15}}{6}\)

\(\begin{array}{l}x - 2 = \frac{{5.6}}{{15}}\\x - 2 = 2\\x = 4\end{array}\)

Vậy \(x = 4\).

b) \(\frac{4}{9}:\left( {x + 0,4} \right) = \frac{2}{3}\)

\(\frac{4}{{9\left( {x + 0,4} \right)}} = \frac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l}9\left( {x + 0,4} \right) = \frac{{4.3}}{2}\\9\left( {x + \frac{2}{5}} \right) = 6\\x + \frac{2}{5} = \frac{2}{3}\\x = \frac{2}{3} - \frac{2}{5}\\x = \frac{4}{{15}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{4}{{15}}\).

c) \(\frac{{x + 1}}{8} = \frac{1}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 8\\{x^2} - x + x - 1 = 8\\{x^2} = 9\end{array}\)

Suy ra \(x = 3\) hoặc \(x =  - 3\).

Vậy \(x \in \left\{ {3; - 3} \right\}\).

Bài 9: Tìm hai số \(x,y\) biết: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = 16\).

Phương pháp

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + y}}{{a + b}}\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = 16\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{16}}{8} = 2\).

\(\frac{x}{3} = 2\) suy ra \(x = 2.3 = 6\).

\(\frac{y}{5} = 2\) suy ra \(y = 2.5 = 10\).

Vậy \(x = 6;y = 10\).

Bài 10: Tìm hai số \(x,y\), biết: \(x:2 = y:\left( { - 5} \right)\) và \(x - y =  - 7\).

Phương pháp

Từ \(x:a = y:b\) suy ra \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x - y}}{{a - b}}\).

Lời giải

Từ \(x:2 = y:\left( { - 5} \right)\) suy ra \(\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 5}}\).

Ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 5}}\) và \(x - y =  - 7\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 5}} = \frac{{x - y}}{{2 - \left( { - 5} \right)}} = \frac{{ - 7}}{7} =  - 1\).

\(\frac{x}{2} =  - 1\) suy ra \(x = \left( { - 1} \right).2 =  - 2\).

\(\frac{y}{{ - 5}} =  - 1\) suy ra \(y = \left( { - 1} \right).\left( { - 5} \right) = 5\).

Vậy \(x = 6;y = 10\).

Bài 11: Tìm ba số \(x,y,z\) biết: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\) và \(x + 2y - 3z =  - 12\).

Phương pháp

Từ \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\) suy ra \(\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{{2.3}} = \frac{{3z}}{{3.4}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm \(x,y,z\).

Lời giải

Ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\) suy ra \(\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{{2.3}} = \frac{{3z}}{{3.4}}\) hay \(\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{12}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{2} = \frac{{2y}}{6} = \frac{{3z}}{{12}} = \frac{{x + 2y - 3z}}{{2 + 6 - 12}} = \frac{{ - 12}}{{ - 4}} = 3\).

\(\frac{x}{2} = 3\) suy ra \(x = 3.2 = 6\).

\(\frac{y}{3} = 3\) suy ra \(y = 3.3 = 9\).

\(\frac{z}{4} = 3\) suy ra \(z = 3.4 = 12\).

Vậy \(x = 6;y = 9;z = 12\).

Bài 12: Tìm \(x,y\), biết: \(\frac{x}{4} = \frac{y}{7}\) và \(xy = 112\).

Phương pháp

Đặt \(\frac{x}{4} = \frac{y}{7} = k\) nên \(x = 4k,y = 7k\).

Thay \(xy = 112\) theo k để tìm k.

Từ đó tìm \(x,y\).

Lời giải

Đặt \(\frac{x}{4} = \frac{y}{7} = k\), suy ra \(x = 4k,y = 7k\).

Vì \(xy = 112\) nên \(4k.7k = 112\)

Do đó

\(\begin{array}{l}28{k^2} = 112\\{k^2} = 4\end{array}\)

Suy ra \(k = 2\) hoặc \(k =  - 2\).

+ Với \(k = 2\), ta có: \(x = 2.4 = 8;y = 2.7 = 14\).

+ Với \(k =  - 2\), ta có: \(x = \left( { - 2} \right).4 =  - 8;y = \left( { - 2} \right).7 =  - 14\).

Vậy \(x = 8;y = 14\) hoặc \(x =  - 8;y =  - 14\).

Bài 13: Tìm các số \(a,b,c\) biết rằng \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) và \({a^2} - {b^2} + 2{c^2} = 108\).

Phương pháp

Từ \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{{2^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{3^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{4^2}}} = \frac{{2{c^2}}}{{{{2.4}^2}}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm \(a,b,c\).

Lời giải

Từ \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) suy ra \(\frac{{{a^2}}}{{{2^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{3^2}}} = \frac{{{c^2}}}{{{4^2}}} = \frac{{2{c^2}}}{{{{2.4}^2}}}\) hay \(\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{b^2}}}{9} = \frac{{2{c^2}}}{{32}}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{b^2}}}{9} = \frac{{2{c^2}}}{{32}} = \frac{{{a^2} - {b^2} + 2{c^2}}}{{4 - 9 + 32}} = \frac{{108}}{{27}} = 4\)

\(\frac{{{a^2}}}{4} = 4\) suy ra \({a^2} = 4.4 = 16\) nên \(a = 4\) hoặc \(a =  - 4\).

\(\frac{{{b^2}}}{9} = 4\) suy ra \({b^2} = 4.9 = 36\) nên \(b = 6\) hoặc \(b =  - 6\).

\(\frac{{{c^2}}}{{16}} = 4\) suy ra \({c^2} = 4.16 = 64\) nên \(c = 8\) hoặc \(c =  - 8\).

Vì \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}\) nên a, b, c cùng dấu.

Do đó a = 4, b = 6, c = 8 hoặc a = -4, b = -6, c = -8.