Giải bài 11 trang 104 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác$A{F_1}{F_2}$ , trong đó$A\left( {0;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}{F_1}\left( { - {\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),{\rm{ }}{F_2}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)$.

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng $A{F_1}{\rm{ }}v\`a {\rm{ }}A{F_2}$

b) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác$A{F_1}{F_2}$.

c) Lập phương trình chính tắc của elip (E) có hai tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$ sao cho (E) đi qua A.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $A{F_1}{\rm{ }}$là:$\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x - 3y + 12 = 0$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $A{F_2}{\rm{ }}$là:$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0$.

b) Giả sử  tâm đường tròn là điểm $I\left( {a;b} \right)$. Ta có: $IA = I{F_1} = I{F_2} \Leftrightarrow I{A^2} = I{F_1}^2 = I{F_2}^2$

Vì $I{A^2} = I{F_1}^2,I{F_1}^2 = I{F_2}^2$ nên: $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( { - 3 - a} \right)^2} + {b^2}\\{\left( { - 3 - a} \right)^2} + {b^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{7}{8}\end{array} \right.$ .

=> $I\left( {0;\frac{7}{8}} \right)$ và $R = IA = \sqrt {{0^2} + {{\left( {\frac{{25}}{8}} \right)}^2}}  = \frac{{25}}{8}$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $A{F_1}{F_2}$ là: ${x^2} + {\left( {y - \frac{7}{8}} \right)^2} = {\left( {\frac{{25}}{8}} \right)^2}$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$.

Do elip có 2 tiêu điểm ${F_1},{F_2}$ nên $\sqrt {{a^2} - {b^2}}  = c = 3 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 9$.

Mặt khác điểm A thuộc elip nên $\frac{{16}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow b = 4\left( {do{\rm{ }}b > 0} \right)$. Vậy $a = 5$.

Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{4^2}}} = 1$.