Giải bài 1.15 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

$\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}\sin A + \sin B + \sin C\\ = \sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A - B}}{2}} \right) + 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}\end{array}$

Trong tam giác ABC: $A + B + C = {180^0}( = \pi )$

$A + B + C = \pi \,\, \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}$

Vậy, 2 góc đó là hai góc phụ nhau, nên: $\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}$; $\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \sin \frac{C}{2}$.