Giải bài 18 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A.   ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}$

B.   ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}$

C.   ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}$

D.   ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \frac{1}{2}{\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2}\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\end{array}$

Mặt khác, ta có $\cos 4x = 1 - 2{\sin ^2}2x \Rightarrow {\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}$

Suy ra ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}$

Đáp án đúng là B.