Giải bài 2 trang 57 SGK Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tam giác $ABC$ có $AB = 6cm,AC = 8cm,BC = 10cm$. Đường phân giác của góc $BAC$ cắt cạnh $BC$ tại $D$.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $DB$ và $DC$.

b) Tính tỉ số diện tích giữa $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $BD + DC = BC$ suy ra $DC = BC - BD = 10 - BD$

Vì $AD$ là phân giác của góc $BAC$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$

$\frac{{BD}}{{10 - BD}} = \frac{6}{8}$

$8BD = 6.\left( {10 - BD} \right)$

$8BD = 60 - 6BD$

$8BD + 6BD = 60$

$14BD = 60$

$BD = \frac{{60}}{{14}} = \frac{{30}}{7}$

$DC = 10 - \frac{{30}}{7} = \frac{{40}}{7}$

Vậy $BD = \frac{{30}}{7}cm;DC = \frac{{40}}{7}cm$.

b) Kẻ $AE \bot BC$, ta có $AE$ là đường cao của tam giác $ABC$.

Vì $AE \bot BC$ nên $AE \bot BD$ suy ra $AE$ là đường cao của tam giác $ADB$

Diện tích tam giác $ADB$ là:

${S_{ADB}} = \frac{1}{2}BD.AE$

Vì $AE \bot BC$ nên $AE \bot DC$ suy ra $AE$ là đường cao của tam giác $ADC$

Diện tích tam giác $ADC$ là:

${S_{ADC}} = \frac{1}{2}DC.AE$

Ta có: $\frac{{{S_{ADB}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AE.BD}}{{\frac{1}{2}AE.CD}} = \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{\frac{{30}}{7}}}{{\frac{{40}}{7}}} = \frac{3}{4}$.

Vậy tỉ số diện tích giữa $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$ là $\frac{3}{4}$.