Giải bài 26 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

a) Cho phương trình $- {x^2} + 5kx + 4 = 0.$ Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thoả mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9.$

b) Cho phương trình $k{x^2} - 6\left( {k - 1} \right)x + 9\left( {k - 3} \right) = 0\left( {k \ne 0} \right).$Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thoả mãn điều kiện ${x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0.$

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số $a =  - 1;b = 5k;c = 4$.

Ta có $\Delta  = {\left( {5k} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).4 = 25{k^2} + 16 > 0$ với mọi $k \in \mathbb{R}$.

Do $\Delta  > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng định lý Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = 5k;{x_1}.{x_2} =  - 4.$

Ta lại có: $x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9$

suy ra ${\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 9$

hay ${\left( {5k} \right)^2} + 4.\left( { - 4} \right) = 9$

Do đó $25{k^2} - 16 = 9$, suy ra $k = 1;k =  - 1$.

Vậy $k = 1;k =  - 1$ là các giá trị cần tìm.

b) Phương trình có các hệ số $a = k;b =  - 6\left( {k - 1} \right);c = 9\left( {k - 3} \right).$

Do đó $b' = \frac{b}{2} =  - 3\left( {k - 1} \right)$.

Ta có $\Delta ' = {\left( { - 3\left( {k - 1} \right)} \right)^2} - k.9\left( {k - 3} \right) = 9k + 9$.

Để phương trình có 2 nghiệm thì $\Delta ' \ge 0$ hay $9k + 9 \ge 0$, suy ra $k \ge  - 1$ và $k \ne 0$.

Áp dụng định lý Viète ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k};{x_1}.{x_2} = \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k}.$

Ta lại có: $\frac{{6\left( {k - 1} \right)}}{k} - \frac{{9\left( {k - 3} \right)}}{k} = 0$

suy ra $- 3k + 21 = 0$ hay $k = 7$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $k = 7$ là giá trị cần tìm.