Giải bài 31 trang 102 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $K$ sao cho $BC = CK$. Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt tia $DC$ tại $E$. Gọi $F$ là trung điểm của $BE$.

a)     Chứng minh các tứ giác $BOCF$ và $BDKE$ đều là hình vuông.

b)    Tứ giác $CDOF$ có thể là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a)     Tứ giác $ABCD$ là hình vuông suy ra $\widehat {ACB} = 45^\circ ,OB = OC,\widehat {BOC} = \widehat {DOC} = 90^\circ$.

Ta có: $\widehat {BOF} = \widehat {DOC}$ (hai góc đồng vị) nên $\widehat {OBF} = 90^\circ ;\widehat {CBE} = \widehat {ACB}$ (hai góc so le trong) nên $\widehat {CBE} = 45^\circ$.

Từ đó ta chứng minh được tam giác $BDE$ vuông cân tại $B$ và tam giác $BCE$ vuông cân tại $C$. Suy ra $BD = BE$ và $BC = EC$.

$\Delta BCF = \Delta ECF$ (c.c.c). Suy ra ta tính được $\widehat {BFC} = \widehat {EFC} = 90^\circ$

Tứ giác $BOCF$ có $\widehat {BOC} = \widehat {OBF} = \widehat {BFC} = 90^\circ$ nên $BOCF$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $BOCF$ có $OB = OC$ nên $BOCF$ là hình vuông.

Ta có: $BC = CD$ và $BC = CE$ nên $CD = CE$.

Tứ giác $BDKE$ có hai đường chéo $BK$ và $DE$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $BDKE$ là hình bình hành.

Hình bình hành $BDKE$ có $\widehat {DBE} = 90^\circ$nên $BDKE$ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $BDKE$ có $BD = BE$ nên $BDKE$ là hình vuông

b)    Tứ giác $CDOF$ có $\widehat {ODC} = 45^\circ$ nên $CDOF$ không thể là hình vuông.