Giải bài 33 trang 102 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông $ABEF$ và $ADGH$ (Hình 26). Chứng minh:

a)     $\Delta AHF = \Delta ADC$

b)    $AC \bot HF$.

 

Lời giải chi tiết

Gọi $K$ là giao điểm của $AC$ và $HF$

a)     Do $ABEF$ và $ADGH$ đều là hình vuông nên$\widehat {BAF} = \widehat {DAH} = 90^\circ ,AH = BA,AH = DA$

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $BA = DC$. Suy ra $AF = DC$

Ta chứng minh được $\widehat {HAF} + \widehat {DAB} = 180^\circ$ và $\widehat {ADC} + \widehat {DAB} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {HAF} = \widehat {ADC}$

Xét hai tam giác $HAF$ và $ADC$, ta có: $AH = DA,\widehat {HAF} = \widehat {ADC},AF = DA$

Suy ra $\Delta HAF = \Delta ADC$ (c.g.c)

b)    Ta có: $\widehat {HAK} + \widehat {DAH} + \widehat {DAC} = \widehat {CAK} = 180^\circ$ và $\widehat {DAH} = 90^\circ$ nên $\widehat {HAK} + \widehat {DAC} = 90^\circ$

Mà $\widehat {AHF} = \widehat {DAC}$ (vì $\Delta HAF = \Delta ADC$), suy ra $\widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 90^\circ$

Trong tam giác $AHK$, ta có: $\widehat {AKH} + \widehat {HAK} + \widehat {AHF} = 180^\circ$. Suy ra $\widehat {AKH} = 90^\circ$

Vậy $AK \bot HK$ hai $AC \bot HF$.