Giải bài 32 trang 57 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình $- 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0$ và $- 2{x^2} - 9x + 11 > 0$

Lời giải chi tiết

+ Tam thức bậc hai $- 3{x^2} + 7x + 10$ có hai nghiệm ${x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{10}}{3}$ và có hệ số $a =  - 3 < 0$

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $- 3{x^2} + 7x + 10$ mang dấu “+” là $\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0$ là $\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]$

+ Tam thức bậc hai $- 2{x^2} - 9x + 11$ có hai nghiệm ${x_1} =  - \frac{{11}}{2};{x_2} = 1$ và có hệ số $a =  - 2 < 0$

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức $- 2{x^2} - 9x + 11$ mang dấu “+” là $\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $- 2{x^2} - 9x + 11 > 0$ là $\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)$

Kết hợp hai tập nghiệm $\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]$ và $\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)$, ta có tập nghiệm của hai bất phương trình $- 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0$ và $- 2{x^2} - 9x + 11 > 0$ là $\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right] \cap \left( { - \frac{{11}}{2};1} \right) = \left[ { - 1;1} \right)$