Giải bài 3.21 trang 61 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường conic (S) có tâm sai bằng 2, một tiêu điểm $F( - 2;5)$ và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là $\Delta :x + y - 1 = 0$. Chứng minh rằng, điểm $M(x;y)$ thuộc đường conic (S) khi và chỉ khi ${x^2} + {y^2} + 4xy - 8x + 6y - 27 = 0$ (được gọi là phương trình của (S), tuy vậy không phải là phương trình chính tắc). Hỏi (S) là đường gì trong ba đường conic?

Lời giải chi tiết

Điểm $M(x;y)$ thuộc đường conic khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{(y - 5)}^2}}  = 2\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 2.{\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + {y^2} - 10y + 25 = 2.\left( {{x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 4xy - 8x + 6y - 27 = 0\end{array}$

Vì $e = 2 > 1$ nên đường conic là đường hypebol.